Еднакви триъгълници

[Ася Петрова]

Задача 4: Триъгълник ABC е правоъгълен и равнобедрен с основа АВ.Така точка С1 е върху правата СМ,като М е среда на AB и на СС1.Докажете,че АС1BC е квадрат.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle CAB=\angle CBA=45^\circ[/tex]. По условие [tex]M[/tex] е среда на [tex]AB[/tex], тогава [tex]AM=BM[/tex], но понеже триъгълникът е и равнобедрен, то [tex]CM\bot AB[/tex]. Но от [tex]\angle ACB=90^\circ \Rightarrow CM=\frac{1}{2}AB=AM=BM[/tex]. Също така [tex]CM=MC_{1}[/tex] (отново по условие), тоест [tex]\triangle BMC_{1}[/tex] е също правоъгълен равнобедрен и [tex]\angle MBC_{1}=\angle MC_{1}B=45^\circ[/tex]. [tex]\triangle BMC_{1}\simeq \triangle AMC_{1}\simeq \triangle CMA\simeq \triangle CMB \Rightarrow AC_{1}=BC_{1}=AC=BC[/tex], тоест [tex]AC_{1}BC[/tex] е квадрат.

[Ася Петрова]

Много ти благодаря

[voknid]

Очевидно е с равни диагонали [tex]= 2r[/tex], пресичащи се под прав ъгъл. Четири триъгълника с равни ъгли и страни, правите ъгли са в 1 обща точка,[tex]AB=d, CC_{1}=d,[/tex] т. [tex]C_{1}[/tex] симетрична на [tex]C[/tex] спрямо [tex]AB[/tex], т. [tex]B[/tex] симетрична на [tex]A[/tex] спрямо [tex]CC_{1}[/tex]. В равнобедрен правоъгълен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата от правия ъгъл към хипотенузата съвпадат и са равни на [tex]\frac{1}{2}[/tex]от нея.