Пирамида

[ганка симеонова]

Основата на пирамида е ромб с остър ъгъл [tex]\alpha [/tex]. Околните стени на пирамидата са еднакви равнобедрени триъгълници.
а) Докажете, че пирамидата има само една двойка взаимно перпендикулярни ръбове.
б) Докажете, че всички околни стени сключват с основата на пирамидата равнии двустенни ъгли.

[Реклама]

[NoThanks]

е щом околните са еднакви равнобедрени 3ъгълници, то следва, че върхът се проектира в центръра на описаната около основата окръжност. Откъдето следва, че ромбът е всъщност квадрат, което малко си проворечи с острия ъгъл [tex]\alpha[/tex]

[ганка симеонова]

Значи, имаш грешка в разсъжденията си

[NoThanks]

Ми нещо не я виждам. Пускаме проекцията на върха в АБЦД и имаме еднакви 3ъгълници => върха е равноотдалечен от А,B,C,D . => има описана окръжност
=>A+C = 180 (описана окръжност)
А=C(срещуположни ъгли в ромб)
=>A=C=90

[ганка симеонова]

А кой ти каза, че трябва да са еднакви точно по този начин?

[NoThanks]

Аз от условието разбирам, че всички стени са еднакви и равнобедрени 3ъгълници, което явно не е така. Ако всички са равнобедрени 3ъгълници, то те са и еднакви. Ако 2 двойки са еднакви и 2 равнобедрени, то пак сички са еднакви Ако имаме 2 стени, които са еднакви и равнобедрени това е друго

[ганка симеонова]

Всички стени са еднакви равнобедрени триъгълници и ромбът не е квадрат

[_sssss]

Я да се пробвам и аз.

б) MM'[tex]\bot [/tex]BC; OM'[tex]\bot [/tex]BC (O - проекция на M в/у ABCD)
=> двустенният ъгъл е MM'O

O - център на вписаната окр в ромба => OM'=OM"

▲ABM[tex]\cong[/tex]▲CBM => MM'=MM"

OM - обща

=> ▲OM'M[tex]\cong [/tex]▲OM"M
<MM"O = <MM'O

Аналог. и за ост.

[ганка симеонова]

Прескочил си а) подусловие. Не е ясно, защо т.О е проекция на върха?

[_sssss]

a) ABCD - ромб => осн. ръбове не са взаимно перпендикулярни;
околните не могат да са [tex]\bot [/tex] на основните
Остават вариантите с 2 околни.

1. <AMB=90 => <MBA=90 - не е възможно

2. <AMC=90, AO=OC => MO=AC/2

3. <BMD=90, BO=OD => MO=DB/2

AC≠DB

PS. O е ортг. проекция на M, защото ACM - равнобедрен; AO=OC => MO[tex]\bot [/tex]AC; Аналог. за DBM
MO[tex]\bot [/tex]на 2 пресекателни прави => на цялата равнина. Нещо такова?

[ганка симеонова]

Опасявам се, че не ми харесва.

[_sssss]

[ros4e]

след като всички околни стени са еднакви равнобедрени триъгълници, значи всички околни ръбове са равни. Следователно върха се проектира в центъра на описаната окр...или това беше май само за правилна пирамида...
неее, върха на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в ромба окръжност ( в прес. т. на диагоналите)....
въобщееее големи разсъждения, ама незнам защо айде, решете я, че ми е интересно

[ганка симеонова]

Ще почакам още малко

[NoThanks]

Значи, за б) Имаме точно че като си пуснем ортогоналната проекция на върха в основата ни се получават 2 двойки еднакви 3ъгълници. От там проекцията е равноотдалечена от А и С, а също и от Д и Б. От там се проектира в пресечната на диагоналите, която е център на вписаната окръжност. А, когато имаме че върхът се проектира в центъра на вписаната значи двустенните при основата са равни(пак с еднакви 3ъгълници). Сега за другото получавам, че имаме една двойка перпендикулярни ръбове(AM perp CM) при [tex]\alpha = 60[/tex] (околните не може да са перп. на основни ръбове и DM=BM=[tex]2 a sin(\frac{\alpha}{4})[/tex] и като пробваме с Питагор в ДбМ не става

[ганка симеонова]

Винаги има една двойка перпендикулярни ръбове, при всяко значение на острия ъгъл.

[ros4e]

тъповат въпрос, но да го задам, да ми олекне на душата
По горният чертеж, не може ли въпросните еднакви рабнобедрени ▲-ци, да са полегнали Т.е. АB=AM=а ( ABM- равноб.), BC=CM=а ( BCM-равноб), MC=DC=а ( MDC-равноб), AD=AM=а ( ADM-равноб.) Така стават две пирамидки с околни ръбове а и с обща основа DBM....
тогава да речем въпросният прав ъгъл може да е DMB и ще е единственият прав м/у околни ръбове....
или не?

[ros4e]

не, не може... хммм доста кофти задача, а ми се стори лесна, нооо не е, поне не и за моите възможности

[r2d2]

Околните ръбове не могат да са равни, защото тогава около основата ще може да се опише окръжност, а тя е ромб.
Остава (като спазваме условието) [tex]BV=DV=AB=a; \; AV=CV=b[/tex].
Нека М е средата на VC. Ясно е, че [tex]BM \perp VC \; DM \perp VC \Rightarrow VC \perp DMC \Rightarrow VC \perp MO [/tex].
Но [tex]MO || AV[/tex] (MO е средна отсечка) [tex]\Rightarrow VC \perp VA[/tex]

[ros4e]

да, точно така и аз съм я решила, но незнам дали е вярно.
"Околните ръбове не могат да са равни, защото тогава около основата ще може да се опише окръжност, а тя е ромб. " Именно това съм написала по-горе пишейки, BC=CM (околен ръб равен на основен) Пирамидите за които пиша, че са с равни околни ръбове са ABMD с връх А и CMDB с връх C. ( според чертежа на seppen)

[NoThanks]

damn, то било съвсем елементарно Благодаря за решението!
П.П и за задачата