Сложен ограничен интеграл - има и тригонометрия :(

[vulkov]

Здравейте - има тука един интеграл който ме ядосва от 10тина дни - ще има ли възможност да ме светнете как да го развия и каква субституция да употребя?

[tex] \int \frac{dx}{(2sin(x)+cos(x)+3)} [/tex]

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Ползваме ун. с.:

[tex]\int \frac{dx}{3 + 2sin x + cos x} = \int \frac{dx}{3 + \frac{4\operatorname{tg}{\frac{x}{2}} + 1 - \operatorname{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}{1 + \operatorname{tg}^2{\frac{x}{2}}}} = \int \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}{\frac{x}{2}}}{2\operatorname{tg}^{2}{\frac{x}{2}} + 4\operatorname{tg}{\frac{x}{2}} + 4}dx = [/tex]
[tex]=\int \frac{\frac{dx}{2cos^{2}{\frac{x}{2}}}}{(\operatorname{tg}^{2}{\frac{x}{2}} + 2\operatorname{tg}{\frac{x}{2}} + 1) + 1} = \int \frac{d\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}}{1 + (1 + \operatorname{tg}{\frac{x}{2}})^2} = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg}{\frac{x}{2}} + 1) [/tex]

[vulkov]

[shasheto]