Да се докаже, че поне две от дадените числа са равни

[dim]

Дадени са естествените числа [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex], за които:

[tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+ \frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}}=2\sqrt{n}[/tex]

Да се докаже, че поне две от дадените числа са равни.

[Реклама]

[estoyanovvd]

Ако допуснем, че всички числа са различни, то лесно е да съобразим, че

[tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+ \frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}}\le \frac{1}{ \sqrt{1} }+\frac{1}{ \sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{ \sqrt{n} } [/tex].

Сега остава да докажем, че [tex]\frac{1}{ \sqrt{1} }+\frac{1}{ \sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{ \sqrt{n} }< 2\sqrt{n} [/tex],

което лесно следва по индукция. С други думи - равенството е невъзможно.
Може би е удачно да се покаже, че има такива числа. Примерно за [tex]n=4[/tex] и [tex]x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1[/tex]
Интересно за мен е и да се намери за какви n ще е изпълнено равенството, защото за n=2, например, няма такива хиксове.

[dim]

Става и без индукция. От [tex]\sqrt{k}>\sqrt{k-1}[/tex]=>[tex]2\sqrt{k}>\sqrt{k}+\sqrt{k+1}[/tex]=>[tex]\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})[/tex]. Следователно:

[tex]\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}}\le 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{1}-\sqrt{0})+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+..+2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})+...+2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2\sqrt{n}[/tex]

Иначе е достатъчно да се види, че може да е изпълнено при някои [tex]n[/tex] според мен. Примерно: [tex]n=4s[/tex] винаги има решение за [tex]x_1=x_2=...=x_n=s[/tex]

[estoyanovvd]

Е и аз това казвам. Достатъчно е да има един пример, но е интересно за тези, за които е вярно как изглежда n?

[estoyanovvd]