Собствени значения и собствени вектори на линейно преобраз.

[zizi]

Намерете собствените значения и собствените вектори на линейно преобразувание с матрица

2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2

Знам че трябва от главния диагонал да извадя λ и след това не мога да го докарам до никаде.

Моля ако някой може да ми помогне с решението.

[Реклама]

[nikko1]

Намираме характеристичния полином и корените му
[tex]\varphi_A(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&-1&2\\5&-3-\lambda&3\\-1&0&-2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)(2+\lambda)(3+\lambda)+3-2(3+\lambda)-5(2+\lambda)=(4-\lambda^2)(3+\lambda)-7\lambda-13=-\lambda^3-3\lambda^2+4\lambda+12-7\lambda-13=[/tex]
[tex]=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=-(\lambda+1)^3=0,[/tex] т.е. собствените стойности са [tex]\lambda_{1,2,3}=-1[/tex]. Трябва да намерим собствените вектори, за целта решаваме хомогенната система [tex](A-\lambda_i)x=0[/tex], което в нашия случай има матрица [tex]\left(\begin{array}{rrr}3&-1&2\\5&-2&3\\-1&0&-1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rrr}-1&0&-1\\5&-2&3\\3&-1&2\end{array}\right)\sim[/tex] прибавяме първи ред умножен с 5 и 3, съответно към втори и трети ред [tex]\sim\left(\begin{array}{rrr}-1&0&-1\\0&-2&-2\\0&-1&-1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rrr}-1&0&-1\\0&-1&-1\\0&-1&-1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{array}\right)[/tex] и тогава [tex]\begin{array}{|rrr}x_1&&+x_3=0\\&x_2&+x_3=0\end{array}.[/tex]
Имаме 2 уравнения с три неизвестни, значи едното неистветно да речем [tex]x_3=p[/tex] е свободно, изразяваме другите 2, т.е. [tex]x_1=-x_3=-p[/tex], [tex]x_2=-x_3=-p[/tex] и собствените вектори са фундаментална система решения на тази хомогенна система, но имаме само един собствен вектор [tex]v_1=(-1,-1,1)[/tex], който се получава като дадем на [tex]p[/tex] стойност 1.

[zizi]

Благодаря ти niko, трудно се справям с тези задачи и колкото и да чета не мога да ги схвана.
Но тази все пак я разбрах благодаряние на теб.