Линейната система има безброй много решения

[Hannibal]

Да се намерят всички стойности на а и б ,за които линейната системата има безброй решения:
[tex]2x_1 + x_2 + 3x_3=1 \\ x_1+2x_2+ax_3=0 \\x_1+x_2+x_3=b[/tex]
Решение:
Значи търсим кога детерминантата е равна на 0-ла , за да има системата безброй решения ,нали така?
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 & b \end{array}\right )R_1-2R_2 ;R_2-R_3[/tex][tex]\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & 1-2b \\ 0 & 1 & a-1 & -b \\ 1 & 1 & 1 & b \end{array}\right)T_{13}[/tex][tex]\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & 1 & a-1 & -b \\ 0 & -1 & 1 & 1-2b \end{array}\right )R_3+R_2[/tex][tex]\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & 1 & a-1 & -b \\ 0 & 0 & a & 1-3b \end{array}\right )[/tex]
И за да е равна детерминантата на 0-ла трябва да имаме пропорционални редве или един ред поне равен на нула.
От 3-я ред ,за да стане 0-ла а=0 и 1-3b=0 => b=[tex]\frac{1}{ 3}[/tex]
И въпросът ми така ли се решават такива тип задачи и ако да такъв ли е отговорът.Трябва ми решението ,което представям да е подробно,но дали по-горното е такова?

[Реклама]

[Garoll]

За да има безброй много решения трябва [tex]rang(A)=rang(B)=r<n[/tex], където rang(A) е рангът на матрицата, без да е добавен стълбът на решенията, а rang(B) е, когато той е добавен, а n е броят на уравненията.

[Hannibal]

Това официалното изказване на решението ли е?
Значи, за да е изпълнено r<n трябва да имаме минор от поне n-1-ва степен и всички други минори от по-горна степен да са равни на 0-ла.Тук пак минимално може да се получи за минор от n-1 степен, без стълба на решенията пак се достига до а=1 ,а със стълба на решенията до a=1 и b=[tex]\frac{1}{3 }[/tex] и това са единствените решения.Нали?
ПП.Моето макар и без рангове вярно ли е и може ли да се използва на контролно(изпит) да речем.

[nikko1]

Може да, без да се използват рангове, т.е. без теоремата на Кронекер-Капели.
По твоя метод, за да има безброй решения трябва да имаме повече неизвестни, отколкото уравнения, а понеже са три неизвестни трябва да имаш 2 или 1 уравнения, няма как да е само едно, а две са тогава и само тогава, когато [tex]a=0,\ b=\frac{1}{3}.[/tex]

[Hannibal]

Благодаря и на двамата.

[nikko1]

Благодаря и на теб за репутацията, която си ми дал