Как се определя ранг?

[1-vi klas]

може ли някой нагледно да покаже чрез някоя задача като например тази: Как се намира ранга на матрицата
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1

ок минора от ред r трябва да е различен от нула ама кой е точно тоя ред r и кви са тия др минори от r+1 не мога да чатна .уффф тая математика ме мрази

[Реклама]

[error]

r= -1 4
3 -7
r≠0

m1= -1 4 -3
3 -7 5
3 -2 1
m1=0

m2= -1 4 -2
3 -7 3
3 -2 0
m2=0

m3= -1 4 -3
3 -7 5
-4 1 0
m3=0
m4= -1 4 -2
3 -7 3
- 4 1 1
m4=0

=> rg (A)=2

[1-vi klas]

мерси много сега ще пробвам да го осмисля

[nikko1]

Само дето не е вярно. В смисъл ранга е наистина 2, но не са разгледани всички минори от втори ред.
Сега да се изкажа и аз.
За да се намери ранга на матрицата трябва да използваме метод на Гаус, за да получим нули под главния диагонал.
[tex]A=\left(\begin{array}{rrrr}-1&4&-3&-2\\3&-7&5&3\\3&-2&1&0\\-4&1&0&1\end{array}\right)[/tex] прибавяме първи ред *3 към втори и трети, и *(-4) към четвърти
[tex]\sim\left(\begin{array}{rrrr}-1&4&-3&-2\\0&5&-4&-3\\0&10&-8&-6\\0&-15&-12&9\end{array}\right)[/tex], сега съкращаваме на 2 и -3 съответно трети и четвърти ред
[tex]\sim\left(\begin{array}{rrrr}-1&4&-3&-2\\0&5&-4&-3\\0&5&-4&-3\\0&5&-4&-3\end{array}\right)[/tex], сега умножаваме втори ред *-1 и прибавяме към трети и четвърти [tex]\sim\left(\begin{array}{rrrr}-1&4&-3&-2\\0&5&-4&-3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right).[/tex]
Сега ранга е максималния ред (брой редове, който е равен на броя стълбове) на ненулевите минори. Освен това ако [tex]A[/tex] е матрица [tex]n\times m[/tex], то [tex]rank(A)\leq\max\{n,m\}=4[/tex] в нашия случай.
За да е ранга максимален, т.е. 4, трябва да имаме ненулев минор от 4-ти ред, т.е. 4 реда и 4 стълба, които да правят матрица с ненулева детерминанта, но понеже имаме 2 реда с нули, то в получената детерминанта имаме ред с нули, т.е. тя е нула.
За да е ранга 3, трябва да съществува ненулев минор от 3-ти ред, т.е. 3 реда и три стълба, които образуват матрица с ненулева детерминанта. Но понеже имаме само 2 ненулеви реда, то всеки трети ред ще е нулев, ерго и детерминанатата.
Сега видно е, че съществува ненулев минор от 2ри ред - взимаме първите 2 реда и 2 стълба на матрицата [tex]\left|\begin{array}{rr}-1&4\\0&5\end{array}\right|=-5\neq0[/tex].
Така има минор от ред 2, но всеки от ред 3 е нула, следователно ранга е 2.