Диофантово уравнение без решения

[Pinetop Smith]

Да се докаже, че уравнението х⁴ + 4 = у⁷ няма цели решения.

[Реклама]

[zhivko_sh]

това го разлагаме вляво на [tex](x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2) [/tex]. Освен това лесно се вижда, че x и y трябва да са нечетни (иначе 16|4). Тогава пък ако НОД [tex](x^{2}-2x+2,x^{2}+2x+2)=d [/tex], то d дели 4x, но d е нечетно, защото и двата израза са нечетни (от x нечетно). Значи d дели x, а оттам d дели 2, т.е. d=1. Значи двете неща в скобите са взаимно прости и тогава всяко от тях е точна седма степен, т.е. [tex](x^{2}-2x+2)=a^{7} [/tex] и [tex](x^{2}+2x+2)=b^{7} [/tex]. Тогава [tex]4x=b^{7}-a^{7}=(b-a)(b^{6}+...+a^{6}) [/tex]. Освен това лесно се вижда по mod 4, че [tex] a^{7}[/tex] и [tex] b^{7}[/tex] са сравними с 1 и значи a и b са сравними с 1 и тогава [tex] b-a\ge 4[/tex]. Тогава [tex] b^{6}+...+a^{6}\le x[/tex] откъдето [tex]b^{6}\le x [/tex]. Тогава имаме [tex]x^{2}+2x+2=b^{7}<b^{12}\le x^{2} [/tex] - противоречие. Значи уравнението няма решение.
Дано нямам техническа грешка

[zhivko_sh]

Даа, само да отбележа, че Б.О.О. можем да считаме, че x е положително (x=0 не е решение). Това ми трябва за последното неравенство.

[Пафнутий]

Хах, точно за това щях да пусна пост И за да не е офф: Добро решение Разлагането не го знаех, но изглежда полезно

[astateoftrance]

Това разлагане има ли някакъв общ вид?