Задачи за линейни пространства..

[iLeeT]

Първо, за много години на всички! :]

Някои от задачите ще преборя, но частта с доказателствата ми куца..

Първата задача е /съжалявам, ако някои термини не са много точни, но просто математиката я уча на немски/:
Нека V e линейно пространство над полето K. Трябва да докажа, че:
1. 0.v = 0 за всяко v от V и че 0 е неутралният елемент на (K, +)
2. (-1).v = -v за всяко v от V и -1 е обърнатия елемент относно + на елемента 1 на (K, . )

Понеже е прекалено неясно така без знаците слагам и снимка.



Втората задача е: за кои стойности на a и b са следните три вектора от R^4 линейно независими?

x1 = (1,0,a,b), x2=(1,a,1+a,3), x3=(0,-a,2,1)

Значи тука направих една система:

x + y = 0
ya - za = 0
xa + y(1+a) + 2z = 0
xb + 3y + z = 0

стигнах донякъде обаче метода натам не ми е напълно ясен, та затова малко насоки ще са ми от полза. ;]

Ето я и втората задача на снимка.



Мерси предварително ;]

Другите задачки са бая гадни, затова няма да ви занимавам, ще се пробвам да ги мъча тея дни.

[Реклама]

[nikko1]

1 зад. Векторно пространство [tex]V[/tex] над поле [tex]\mathbb{K}[/tex] наричаме множество, за което са изпълнени следните условия:
1) [tex]V\neq0[/tex];
2) [tex]\oplus:V\times V\rightarrow V[/tex];
3) [tex]a+b=b+a[/tex] за всички [tex]a,b\in V[/tex];
4) [tex]a+(b+c)=(a+b)+c[/tex] за всички [tex]a,\ b,\ c\in V[/tex];
5) [tex]\exists \overline{0}\in V:\ a+\overline{0}=a[/tex], за всяко [tex]a\in V[/tex] (съществува неутрален елемент - ще го бележим [tex]\overline{0}[/tex] за да го различаваме от нулата на полето [tex]\mathbb{K}[/tex]);
6) [tex]\forall a\ \exists\ b :\ a + b = \overline{0}[/tex];
7) [tex]\odot : \mathbb{K} \times V \to V[/tex];
8.) [tex]1\odot a=a[/tex] за всяко [tex]a\in V[/tex];
9) [tex]\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b[/tex], за всяко [tex]\lambda \in \mathbb{K}[/tex] и всеки [tex]a, b \in V[/tex];
10) [tex](\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a[/tex], за всички [tex]\lambda, \mu \in \mathbb{K}[/tex] и всяко [tex]a \in V[/tex];
11) [tex](\lambda\mu)a = \lambda(\mu a)[/tex], за всички [tex]\lambda, \mu \in \mathbb{K}[/tex] и всяко [tex]a \in V[/tex].

Сега да докажем:
а) [tex]a = 1a = (1 + 0)a = 1a + 0a = a + 0a[/tex], следователно [tex]0a = \overline{0}, \ \ 0 \in \mathbb{K}\ a, \overline{0} \in V[/tex];
б) [tex]a + (-1)a = (1 + (-1))a = 0a = \bar 0[/tex], следователно [tex](-1)a[/tex] е обратен на [tex]a[/tex] относно събирането във [tex]V[/tex], а обратния елемент [tex]-a[/tex] е единствен, т.е. [tex]-1.a=-a[/tex].

2 зад.
Да запишем векторите в редове (според теоремата за ранговете няма значение дали ще са в редове или стълбове)
[tex]A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & a & b \\1 & a & 1+a & 3 \\0 & -a & 2 & 1 \\\end{array}\right)[/tex] и да видим при кои стойности на параметрите ще получим [tex]rank(A)=3[/tex], за целта използваме метод на Гаус.
Умножаваме първи ред по [tex]-1[/tex] и го прибавяме към втория.
[tex]A\sim\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & a & b \\0 & a & 1 & 3-b \\0 & -a & 2 & 1 \\ \end{array}\right)[/tex], тук прибавяме втори ред към трети [tex]\sim\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & a & b \\0 & a & 1 & 3-b \\0 & 0 & 3 & 4-b \\ \end{array}\right)[/tex].
Следователно, ако [tex]a\neq0[/tex], то първите три реда и три стълба получената матрица представляват минор [tex]\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & a \\0 & a & 1 \\0 & 0 & 3\end{array}\right|=3a\neq0[/tex] и векторите ще са линейно независими.

Нека сега [tex]a=0[/tex], матрицата става [tex]\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & b \\0 & 0 & 1 & 3-b \\0 & 0 & 3 & 4-b \\ \end{array}\right)[/tex], тук прибавяме втори ред умножен по [tex]-3[/tex] към трети [tex]\sim\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & b \\0 & 0 & 1 & 3-b \\0 & 0 & 0 & 2b-5 \\ \end{array}\right)[/tex] и тази матрица има ранг 3, т.е. векторите са линейно независими тогава и само тогава, когато [tex]2b-5\neq0[/tex], т.е. [tex]b\neq\frac{5}{2}[/tex].

Отговор: при [tex]a\neq0[/tex] и при [tex]a=0, b\neq\frac{5}{2}[/tex].

[iLeeT]

Благодаря много. :] Първата успях да я докажа, но втората я бях направил непълно. Мерси още веднъж за труда.

[nikko1]

Щом си доволен, то е редно да ми дадеш някаква оценка под формата на репутация. Бутона за това се намира под снимката на аватара ми, там където пише гласове: