Задача за делители

[Saposto_MM]

Честита Нова Година! Пожелавам Ви здраве, щастие, любов, успехи във всяко начинание и прогрес в Математиката! На вниманието ви задача - поздрав за новата година.
Да се намерят всички естествени числа N, за които N има точно 6 естествени делителя и сборът им е 2394.

[Реклама]

[Пафнутий]

2393 e просто Останалото е във вашите ръце
ПП Това даже в случая не е и нужно за решението

[Pinetop Smith]

За много години!
Иначе стандартна задача. Поне аз като видя брой и сбор на делители ползвам [tex](p_1 + 1)...(p_n + 1)[/tex](ако каноничното разлагане на някакво число е [tex]a_1^{p_1}...a_n^{p_n}[/tex], то това е броят на делителите му). В случая [tex](p_1 + 1)...(p_n + 1) = 6 [/tex]=> n ≤ 2 и очевидно двата случая са [tex]p^5 [/tex]или [tex]pq^2[/tex] (р, q - прости). Всъщност тук е очевидно, че това ще е разлагането, ама ако примерно бяха 18 делителите, щеше да е по-голяма каша А накрая се разглеждат получените случаи и се прави някакво диофантово у-ие, което се решава лесно.

Подобни задачи са давали на ПМТ 8 кл преди няколко години, областен кръг от 2008-ма, само числата бяха различни.

ПП: Не съм решил задачата, тъй че хинтът за 2393 може би се използва за някакво по-леко решение, ще пробвам

ПП2: Имам някакво странно усещане, че отговорът е 2009

[r2d2]

На мен ми е любопитно да видя смислено решение!

2057!

[Пафнутий]

Нека с t(n) да бележим сбора на делителите на n.Ако N е от вида [tex]p^5[/tex], тогава [tex]t(N)=\frac{p^6-1}{p-1}}[/tex] ,т.е имаме [tex]p(p^5-2394)=-2393[/tex], не е нужно да знаем, че [tex]2393[/tex] е просто. Трябва да се досетим, че [tex]p^5-2394 <0[/tex], т.е [tex]p<5[/tex] и чрез директна проверка -няма решения.Ако [tex]N=pq^2[/tex], то [tex]t(N)=(p+1)\frac{q^3-1}{q-1}=2394=2.3^2.7.19[/tex], т.е имаме следните възможности [tex]p=2,3,5,13,17,37[/tex]. И сега директна проверка.Наздраве