Регистрирайте сеРегистрирайте се

Граници с е


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Garoll
Напреднал


Регистриран на: 16 Apr 2008
Мнения: 355
Местожителство: sofia
Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 3:34 pm    Заглавие: Граници с е

От скоро се занимавам с анализ, бих искал да ви попитам 1 въпрос

Съществува границата [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n })^{n}=e[/tex]

Дадена е следната Лема:
За всяко цяло число k е в сила равенството [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n })^{n}=e^{k}[/tex]

Това го доказват с индукция и за k+1 правят следното:

[tex](1+\frac{k+1}{n })^{n}=(\frac{n+k+1}{n})^{n}=(\frac{n+1}{n })^{n}(1+\frac{k}{n+1 })^{n}=(1+\frac{1}{n })^{n}(1+\frac{k}{ n+1})^{n}[/tex]

След това са написали [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k+1}{n })^{n}=e.e^{k}[/tex]

Сега е време за въпроса ми - Явно е отчетено, че [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n+1})^{n}=e^{k}[/tex] и искам да попитам дали правилото е, че когато степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] клони към безкрайност и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex] клони към безкрайност получаваме [tex]e^{k}[/tex] или просто е отчетено, че [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}=\frac{(1+\frac{k}{n+1 } )^{n+1}}{(1+\frac{k}{n+1 }) } [/tex] и когато n клони към безкрайност изразът [tex]1+\frac{k}{n+1 }[/tex] клони към 1 и следователно не оказва влияние.


(Т.е. въпросът е дали степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex]трябва да са винаги еднакви или просто трябва да клонят към безкрайност.)


Последната промяна е направена от Garoll на Thu Jan 01, 2009 4:48 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 3:47 pm    Заглавие: Re: Граници с е

Garoll написа:


[tex](1+\frac{k+1}{n })^{n}=(\frac{n+k+1}{n})^{n}=(\frac{n+1}{n })^{n}(1+\frac{k}{n+1 })^{n}= (1+\frac{1}{n })^{n} (1+\frac{k}{ n+1})^{n} [/tex]

След това са написали [tex] \lim_{n\to\infty } (1+\frac{k+1}{n })^{n}=e.e^{k}[/tex]


Използвано е, че [tex] \lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n })^{n}=e [/tex] и индукционното предположение, че [tex]lim_{n\to\infty } (1+\frac{k}{ n+1})^{n}=e^k [/tex]
Второто ти предположение е вярно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Garoll
Напреднал


Регистриран на: 16 Apr 2008
Мнения: 355
Местожителство: sofia
Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 4:32 pm    Заглавие:

Това е ясно, моля те виж по-внимателно точно какво питам.
И индукционното предположение за k е [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n })^{n}=e^{k}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 5:04 pm    Заглавие: Re: Граници с е

Garoll написа:
че [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}=\frac{(1+\frac{k}{n+1 } )^{n+1}}{(1+\frac{k}{n+1 }) } [/tex] и когато n клони към безкрайност изразът [tex]1+\frac{k}{n+1 }[/tex] клони към 1 и следователно не оказва влияние.


Това е вярно
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Garoll
Напреднал


Регистриран на: 16 Apr 2008
Мнения: 355
Местожителство: sofia
Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 5:14 pm    Заглавие:

[tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n+1})^{n}=e^{k}[/tex] и искам да попитам дали правилото е, че когато степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] клони към безкрайност и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex] клони към безкрайност получаваме [tex]e^{k}[/tex] - това вярно ли е?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 5:18 pm    Заглавие:

Да, според цитата ти, в предния ми пост
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 7:47 pm    Заглавие:

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})\right)^n[/tex] - числителят става знаменател на знаменателя... сега трябва да нагласим степента...

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})\right)^n=\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}*k}[/tex] сега мисля степента(или част от нея Smile ) излиза извън лимеса... и става

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}*k}=\left[\lim_{n\Right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}} \right]^k=e^k[/tex]

Така става ли? С индукция е някак си тромаво. На нас така са ни го обяснявали и звучи доста логично и лесно Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Garoll
Напреднал


Регистриран на: 16 Apr 2008
Мнения: 355
Местожителство: sofia
Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 7:55 pm    Заглавие:

Явно никой не разбра какво питам

Ставаше въпрос за това дали е необходимо степента(n) и знаменателят (n+1) да са еднакви ИЛИ е необходимо просто да клонят към безкрайност
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 7:59 pm    Заглавие:

Garoll написа:
Явно никой не разбра какво питам

Ставаше въпрос за това дали е необходимо степента(n) и знаменателят (n+1) да са еднакви ИЛИ е необходимо просто да клонят към безкрайност

Ако знаменателят е от вида [tex] n+l; n->+\infty [/tex], е достатъчно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 7:59 pm    Заглавие:

е ми аз знам, че е необходимо И да са еднакви И да клонят към безкрайност Wink
Просто като имаш n/k и на двете места, където к ти е фиксирано число, а пък n->00, то очевидно и n/k ще клони към безкрайност Smile

Представи си го така - полагаш n/k=p и ако n-> oo, то и p-> oo , откъдето за границата получаваш [tex]\left[\lim_{p\Right \infty}(1+{1\over p})^p\right]^k=e^k[/tex] - и все пак и двете трябва да са еднакви(тоест и на двете места да пише един и същ израз.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 8:13 pm    Заглавие: Re: Граници с е

Garoll написа:
От скоро се занимавам с анализ, бих искал да ви попитам 1 въпрос

Съществува границата [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n })^{n}=e[/tex]

Дадена е следната Лема:
За всяко цяло число k е в сила равенството [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n })^{n}=e^{k}[/tex]

Това го доказват с индукция и за k+1 правят следното:

[tex](1+\frac{k+1}{n })^{n}=(\frac{n+k+1}{n})^{n}=(\frac{n+1}{n })^{n}(1+\frac{k}{n+1 })^{n}=(1+\frac{1}{n })^{n}(1+\frac{k}{ n+1})^{n}[/tex]

След това са написали [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k+1}{n })^{n}=e.e^{k}[/tex]

Сега е време за въпроса ми - Явно е отчетено, че [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n+1})^{n}=e^{k}[/tex] и искам да попитам дали правилото е, че когато степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] клони към безкрайност и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex] клони към безкрайност получаваме [tex]e^{k}[/tex] или просто е отчетено, че [tex]\red (1+\frac{k}{n+1 })^{n}=\frac{(1+\frac{k}{n+1 } )^{n+1}}{(1+\frac{k}{n+1 }) } [/tex] и когато n клони към безкрайност изразът [tex]\red 1+\frac{k}{n+1 }[/tex] клони към 1 и следователно не оказва влияние.


(Т.е. въпросът е дали степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex]трябва да са винаги еднакви или просто трябва да клонят към безкрайност.)


На нас ни го обясниха точно по червения начин, така че предполагам той е верен Smile

П.П. Замисли се ако и двете клонят към безкрайност, то не могат ли да се представят по същия начин, като дробта ще е 1^t, където t ти е разминаването между числителя и степента и пак ще излезе 1 Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 10:17 pm    Заглавие:

[tex]\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^n=\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{-1}.\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{n+1}[/tex]
Сега първият множител клони към 0, а вторият към [tex]e^k[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 10:32 pm    Заглавие:

gdimkov написа:
[tex]\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^n=\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{-1}.\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{n+1}[/tex]
Сега първият множител клони към 0, а вторият към [tex]e^k[/tex].


Първият множител не клони ли към 1 Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Garoll
Напреднал


Регистриран на: 16 Apr 2008
Мнения: 355
Местожителство: sofia
Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1Репутация: 44.1
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Jan 01, 2009 10:33 pm    Заглавие:

gdimkov написа:
[tex]\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^n=\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{-1}.\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{n+1}[/tex]
Сега първият множител клони към 0, а вторият към [tex]e^k[/tex].


Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 02, 2009 2:07 pm    Заглавие:

Печатна грешка!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.