Граници с е

[Garoll]

От скоро се занимавам с анализ, бих искал да ви попитам 1 въпрос

Съществува границата [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n })^{n}=e[/tex]

Дадена е следната Лема:
За всяко цяло число k е в сила равенството [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n })^{n}=e^{k}[/tex]

Това го доказват с индукция и за k+1 правят следното:

[tex](1+\frac{k+1}{n })^{n}=(\frac{n+k+1}{n})^{n}=(\frac{n+1}{n })^{n}(1+\frac{k}{n+1 })^{n}=(1+\frac{1}{n })^{n}(1+\frac{k}{ n+1})^{n}[/tex]

След това са написали [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k+1}{n })^{n}=e.e^{k}[/tex]

Сега е време за въпроса ми - Явно е отчетено, че [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n+1})^{n}=e^{k}[/tex] и искам да попитам дали правилото е, че когато степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] клони към безкрайност и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex] клони към безкрайност получаваме [tex]e^{k}[/tex] или просто е отчетено, че [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}=\frac{(1+\frac{k}{n+1 } )^{n+1}}{(1+\frac{k}{n+1 }) } [/tex] и когато n клони към безкрайност изразът [tex]1+\frac{k}{n+1 }[/tex] клони към 1 и следователно не оказва влияние.


(Т.е. въпросът е дали степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex]трябва да са винаги еднакви или просто трябва да клонят към безкрайност.)

[Реклама]

[ганка симеонова]

[Garoll]

Това е ясно, моля те виж по-внимателно точно какво питам.
И индукционното предположение за k е [tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n })^{n}=e^{k}[/tex]

[ганка симеонова]

[Garoll]

[tex]\lim_{n\to\infty }(1+\frac{k}{n+1})^{n}=e^{k}[/tex] и искам да попитам дали правилото е, че когато степента на [tex](1+\frac{k}{n+1 })^{n}[/tex] клони към безкрайност и знаменателят на [tex]\frac{k}{ n+1}[/tex] клони към безкрайност получаваме [tex]e^{k}[/tex] - това вярно ли е?

[ганка симеонова]

Да, според цитата ти, в предния ми пост

[martosss]

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})\right)^n[/tex] - числителят става знаменател на знаменателя... сега трябва да нагласим степента...

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})\right)^n=\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}*k}[/tex] сега мисля степента(или част от нея ) излиза извън лимеса... и става

[tex]\lim_{n\right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}*k}=\left[\lim_{n\Right \infty}\left(1+\frac{1}{(\frac{n}{k})}\right)^{\frac{n}{k}} \right]^k=e^k[/tex]

Така става ли? С индукция е някак си тромаво. На нас така са ни го обяснявали и звучи доста логично и лесно

[Garoll]

Явно никой не разбра какво питам

Ставаше въпрос за това дали е необходимо степента(n) и знаменателят (n+1) да са еднакви ИЛИ е необходимо просто да клонят към безкрайност

[ганка симеонова]

[martosss]

е ми аз знам, че е необходимо И да са еднакви И да клонят към безкрайност
Просто като имаш n/k и на двете места, където к ти е фиксирано число, а пък n->00, то очевидно и n/k ще клони към безкрайност

Представи си го така - полагаш n/k=p и ако n-> oo, то и p-> oo , откъдето за границата получаваш [tex]\left[\lim_{p\Right \infty}(1+{1\over p})^p\right]^k=e^k[/tex] - и все пак и двете трябва да са еднакви(тоест и на двете места да пише един и същ израз.

[martosss]

[gdimkov]

[tex]\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^n=\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{-1}.\left (1+\frac {k}{n+1}\right )^{n+1}[/tex]
Сега първият множител клони към 0, а вторият към [tex]e^k[/tex].

[martosss]

[Garoll]

[gdimkov]

Печатна грешка!