Новогодишно удоволствие

[Spider Iovkov]

Дадено е уравнението [tex]x^2+px+1=0[/tex] с корени [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex]:
а) да се състави квадратно уравнение с корени [tex]y_{1}[/tex] и [tex]y_{2}[/tex], удовлетворяващи условията
[tex]y_{1}=x_{1}(1-x_{1}), y_{2}=x_{2}(1-x_{2})[/tex];
б) да се определят стойностите на параметъра [tex]p[/tex], при които корените на новото уравнение ще бъдат реални и ще лежат между [tex]-2[/tex] и [tex]1[/tex].

[Реклама]

[naitsirk]

a) [tex]x^2+(p^2+p-2)x+p+2=0[/tex]
б) [tex]p\in (-\frac{5}{2 };-2) [/tex]

[Spider Iovkov]

Точно така, . Сега можеш да напишеш решението си.

[naitsirk]

Нека търсеното квадратно уравнение е от вида: [tex]x^2+mx+n=0[/tex], от формулите на Виет имаме:[tex]m=-(y_1+y_2)[/tex] и [tex]n=y_1.y_2[/tex], заместваме [tex]y_1[/tex] и [tex]y_2[/tex] с дадените и след опростяване получаваме: [tex]m=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2), y_2=x_1x_2(1+x_1x_2-(x_1+x_2))[/tex] отново от формулите на Виет за първото уравнение имаме: [tex]x_1+x_2=-p, x_1x_2=1[/tex]. Заместваме в изразите за m и n и получаваме: [tex]m=p^2+p-2,n=p+2[/tex] => уравнението е [tex]x^2+(p^2+p-2)x+p+2[/tex]. За реални корени [tex]D=(p^2+p-2)^2-4(p+2)=(p-2)(p+2)(p+1)^2\ge 0=> p\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )[/tex]. Коефициентът пред най-старшата е положителен => графиката е с рогата нагоре => за да може корените да са в интервала (-2;1), трябва да са изпълнени условията:
[tex]f(-2)>0[/tex]
[tex]f(1)>1[/tex]
[tex]\frac{-(p^2+p-2)}{2 }<1[/tex]
[tex]\frac{-(p^2+p-2)}{2 }>-2[/tex]
или
[tex]2p^2+p-10<0[/tex]
[tex]p^2+2p+1>0[/tex]
[tex]p(p+1)>0[/tex]
[tex]p^2+p-6<0[/tex]
от тези условия получаваме:
[tex]p\in (-\frac{5}{2 };2 )[/tex]
[tex]p\ne -1[/tex]
[tex]p\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )[/tex]
[tex]p\in (-3;-2)[/tex], сечем тези условия с условието за реални корени и получаваме [tex]p\in (-\frac{5}{2 };-2 ) [/tex]