Tрапец

[r2d2]

В трапеца [tex]ABCD (AB||CD) \angle CDB = \angle DAC\;AC\cap BD=K. [/tex]

Нека О е център на описаната около ABK окр., а М - средата на AD.

Докажете, че [tex]OD\bot CM[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

Предварително се извинявам за липсата на черетж

Означаваме [tex]\angle AKD=\alpha ; \angle DAK => \angle KDC=\varphi =>\angle ABD=\varphi=>\angle DKC=\angle ADC=180^\circ -\alpha =>\angle DAB=\alpha [/tex]
[tex]\Delta AKD\approx \Delta BAD=>AD^2=KD.BD[/tex], но DKB- секуща към окръжността, т.А лежи на нея=> AD се явява допирателна.=> [tex]\angle DAO=90^\circ [/tex]
Построяваме т. L- среда за КВ. Oт [tex]\Delta ADC\approx \Delta BKA=>\Delta MDC\approx\Delta LKA=> [/tex]
[tex]\angle DMC=\angle KLA=x [/tex]
[tex]\Delta OKB [/tex]- равнобедрен=>[tex]OL\bot KB=>\angle OLK=90^\circ [/tex], но [tex]\angle DAO=90^\circ => AOLD [/tex]- вписан четириъгълник=> [tex]\angle AOD=\angle ALD=x [/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOD=>\angle DAO=90^\circ ; \angle AOD=x=>\angle ADO=90^\circ -x [/tex]
[tex]\Delta MPD=>\angle DMP=x; \angle MPD=90^\circ -x=>\angle APD=90^\circ =>OD\bot MC [/tex]