корени

[NoThanks]

Ако означим [tex]R_{n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+.....+\sqrt{2}}}}[/tex], където знакът за извличане на квадратен корен е използван n пъти, то да се докаже че
[tex]cos(\frac{\pi}{2^n})=\frac{1}{2}R_{n-1}[/tex] и [tex]sin(\frac{\pi}{2^n})=\frac{1}{2}\sqrt{2-R_{n-2}}[/tex]

[Реклама]

[b1ck0]

[tex]sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1[/tex]

[tex]\frac{R_{n-1}^{2}}{4} + \frac{2-R_{n-2}}{4} = 1[/tex]

[tex]R_{n-1}^{2} + 2-R_{n-2} = 4 [/tex]

[tex]2-R_{n-2} = (2+R_{n-1})(2-R_{n-1})[/tex]

хм ....

[ганка симеонова]

Ще ползваме, че [tex]R_n=\sqrt{2+R_{n-1}} =>R_{n-1}=R_n^2-2 [/tex]
Ще докажем исканото равенство за косинус чрез индукция и за целта ще ползваме формулата [tex]cos{\frac{\alpha }{2 } }=\sqrt{\frac{1+cos\alpha }{ 2} }; \alpha \in (0; \frac{\pi }{ 2}) [/tex]
Очевидно при n=2 равенството е изпълнено, защото [tex]cos{\frac{\pi }{ 4}}=\frac{\sqrt{2} }{2 }=\frac{R_1}{2 } [/tex]
Допускаме, че е вярно за произволно к>2.
[tex]cos{\frac{\pi }{2^{k+1}} } =cos{\frac{1}{2 }.\frac{\pi }{2^k}=\sqrt{\frac{1+cos{\frac{\pi }{ 2^k}} }{2 } }} =\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2 }R_{k-1} }{ 2} }=\frac{\sqrt{2+R_{k-1}} }{2 }=\frac{R_k}{2 } [/tex]

[tex] sin{\frac{\pi }{ 2^n}}=\sqrt{1-cos^2{\frac{\pi }{2^n} } }= \frac{\sqrt{4-R_{n-1}^2} }{2 }=\frac{\sqrt{2-(R_{n-1}^2-2)} }{2 } =\frac{\sqrt{2-R_{n-2}} }{ 2} [/tex]

Т.К.И.Д.