Описана сфера-радиус

[Stoke]

Здравейте,трябва да намеря радиуса на описаната сфера на правилна триъгълна пирамида,както и да обоснова къде е центърът и,дадена е височината 4 и основен ръб 6.√3.Благодаря предварително,ако некой помогне.

[Реклама]

[NoThanks]

Радиуса може да го намериш по формулата на Крел:
[tex]R = \frac{S'}{6V}[/tex]
където S' е лицето на 3ъгълника със страни двойките срещуположни ръбове на тетраедъра.

[ганка симеонова]

Хайде, ако праснем някоя велика формула, а човекът иска обосновка, къде е този център, или каквото и да е, да дадем читаво решение, с обосновка
Честно да си призная, тази теорема нищо не ми казва

[NoThanks]

Имаме:
[tex]h=4 \; a = 6\sqrt{3}[/tex] Тогава смятаме медиана в основата:
[tex]m^2 = \frac{1}{4}(2.36.3 + 2.36.3 - 36.3) = \frac{1}{4}3.36.3 => m=\frac{1}{2}3.6 = 9[/tex]
Получихме, че медианата в основата е 9. Сега О ни е центъра на основата и си смятаме примерно BO = 2/3м = 6.Сега имаме правоъгълен триъгълник BOM(M-връх на пирамидата), в който [tex]BO=6;MO=4 =>b^2=36+16 = 52=4.13 => b =2\sqrt{13}[/tex], където b е околен ръб.
Сега търсим S'. Тъй като пирамидата ни е правилна, имаме че това е триъгълник с 3 равни страни, които са съответно = [tex]6\sqrt{3}*2\sqrt{13} = 12\sqrt{39}[/tex] Сега лицето се намира по Херон, като [tex]p = \frac{36\sqrt{39}}{2}=18\sqrt{39}[/tex]
[tex]S' = \sqrt{18\sqrt{39}*6\sqrt{39}*6\sqrt{39}*6\sqrt{39}}=6*6*39\sqrt{3}[/tex]
Обемът го намираме като знаем
[tex]B=\frac{1}{2}6\sqrt{3}6\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=36*3*\sqrt{3}/4 = 9*3\sqrt{3}=27\sqrt{3}[/tex] =>[tex]V=27\sqrt{3}*4/3 = 36\sqrt{3}[/tex]
Сега
[tex]R=\frac{6*6*39\sqrt{3}}{6*36\sqrt{3}} = \frac{39}{6} = \frac{13}{2}[/tex]
Поне радиуса получихме

[Spider Iovkov]

Да започнем по-отдалеч. Да изясним смисъла на понятието многостен, вписан в сфера. Очевидно това ще е тяло, всичките върхове на което са върху сферата. Нека е дадено тялото [tex]X_{1}X_{2}X_{3}...X_{n}[/tex]. Ако то е вписано в сфера, то нейният център е точка, която е равноотдалечена от върховете му, тоест тя е пресечна точка на симетралните равнини на ръбовете на тялото. Нека в пространството да е дадена произволна равнина [tex]\pi[/tex], съдържаща някои от върховете на многостена. Тъй като тази равнина [tex]\pi[/tex] сече сферата, то това сечение е многоъгълник, вписан в окръжност. Нека също така е даден и центърът на описаната сфера, например [tex]J[/tex]. Тогава ще е изпълнено [tex]JX_{1}=JX_{2}=JX_{3}=...=JX_{n}[/tex]. Нека и точката [tex]J'[/tex] да е ортогоналната проекция на този връх върху равнината [tex]\pi[/tex]. Понеже разстоянията от центъра на сферата до върховете на многостена са равни, то ще бъдат равни и техните ортогонални проекции, тоест точката [tex]J'[/tex] е център на окръжността, описана около многоъгълника от равнината [tex]\pi[/tex].

Нека дадената правилна триъгълна пирамида да е [tex]ABCD[/tex]. Тогава за нея ще е изпълнено [tex]AB=BC=AC=6\sqrt{3}[/tex]. Ако [tex]DO[/tex] е височината на пирамидата, [tex]O\in s_{AC}[/tex], то [tex]DO=4[/tex]. Но върхът [tex]D[/tex] на пирамидата се проектира в центъра на равностранния триъгълник, служещ за основа. Но тъй като центърът на равностранния триъгълник е не само пресечна точка на симетралите, но и на медианите, то [tex]BO:OH=2:1[/tex], където [tex]H[/tex] е пресечната точка на симетралата на [tex]AC[/tex] с [tex]AC[/tex]. [tex]CH=AH=3\sqrt{3}, BH\bot AC \Rightarrow BH^2+AH^2=AB^2 \Leftrightarrow BH^2+(3\sqrt{3})^2=(6\sqrt{3})^2 \Leftrightarrow BO=9 \Rightarrow BO=6[/tex]. Но [tex]\angle DOB=90^\circ \Rightarrow DO^2+BO^2=BD^2 \Leftrightarrow BD=2\sqrt{13}[/tex].
Радиусът на сфера, описана около пирамида с равни околни ръбове или около правилна пирамида, може да бъде пресметнат по формулата [tex]R=\frac{b^2}{2h}[/tex], където с [tex]b[/tex] е означен околният ръб, а с [tex]h[/tex] е означена височината. Тогава имаме: [tex]R=\frac{\cancel 4.13}{2.\cancel 4}=\frac{13}{2}=6,5[/tex].

[r2d2]

[ганка симеонова]

Лице на равностранен или праовъгълен, или равнобедрен триъгълник, С Херон?
Неее..
Решението на Емо, е много добро!

[r2d2]

Разглеждаме сечение на сферата с равнина минаваща през височината DO и В. Емо е сметнал BO=6. Oстава да съобразим, че[tex] \angle D_1BD=90^\circ.[/tex]

Toгава [tex]BO^2=DO.D_1O \;=>6^2=4\cdot(2R-4)\;R=13/2[/tex]