Дробно неравенство

[Spider Iovkov]

Да се реши неравенството [tex]\frac{2^{x+1}-5.3^x}{2^x-3^{x+1}}<1[/tex]. Вярно ли е, че [tex]lg\frac{1}{32}[/tex] е решение на това неравенство?

[Реклама]

[NoThanks]

След прехвърляне от едната страна/сметки получаваме:
[tex]\frac{2^x-2.3^x}{2^x-3.3^x} < 0 \leftrightarrow \frac{a-2b}{a-3b}<0[/tex]
=> [tex]a \in (2b;3b) \; (b>0;a>0) [/tex]
[tex]2^x>2.3^x \leftrightarrow x<log_{\frac{2}{3}}2[/tex]
[tex]2^x<3.3^x \leftrightarrow x>log_{\frac{2}{3}}3[/tex]
[tex]x \in (log_{\frac{2}{3}}3;log_{\frac{2}{3}}2)[/tex]
Това дали е решение се проверява лесно като сменим основата и правим 1 проверка.

[ганка симеонова]

Аз си мисля, че интересното в задачата, не е самото решение на неравенството, а установяване на принадлежност на даденото число, към решенията

[NoThanks]

Ок, минаваме към основа 2.
[tex]log_{\frac{2}{3}}3 = \frac{log_{2}3}{log_{2}2 - log_{2}3} = \frac{log_{2}3}{1-log_{2}3}[/tex]
[tex]log_{\frac{2}{3}}2 = \frac{log_{2}2}{log_{2}2 - log_{2}3} = \frac{1}{1-log_{2}3}[/tex]
[tex]lg32 = \frac{log_{2}2^5}{log_{2}2 + log_{2}5} = \frac{5}{1+log_{2}5}[/tex]
Сега интервалът ни е между 2 отрицателни числа([tex]log_{2}3 <1[/tex]). А последното ни число (lg32) е положително, значи не е решение.

[ганка симеонова]

[NoThanks]

[ганка симеонова]

Ако тази задача ти се падне на изпит, така ли би я обяснил?

[NoThanks]

Ми май да Смисъл, другото което е е да си напишем:
[tex]lg\frac{1}{32}<log_{\frac{2}{3}}2 \; lg\frac{1}{32}>log_{\frac{2}{3}}3[/tex]
но и тук ще трябва да намерим някви стойности

[_sssss]

[tex]lg\frac{1}{32}<log_{\frac{2}{3}}2 \;[/tex]

[tex]-5lg2 - \frac{lg2}{ lg\frac{2}{3 } } < 0 [/tex]

[tex]\frac{lg2(5lg\frac{2}{3 } +1)}{lg\frac{2}{3 } } >0 [/tex]

[tex]lg\frac{2}{ 3}<0 \Right lg2(5lg\frac{2}{3 } +1)<0[/tex]

[tex]lg2>0 \Right lg\frac{2^{5}}{3^5 } +1<0[/tex]
320/243 > 1

==> ne e reshenie

[ганка симеонова]