Показателно- логаритмично

[ганка симеонова]

Да се реши неравенството

[tex] 5^xlog_2x+x.3^x-4^x.log_2x\ge 3^xlog_2x+x.5^x-x.4^x [/tex]

[Реклама]

[Nesh]

Отговорът X≤2 ли е ?

[ганка симеонова]

[Nesh]

О значи и решението трябва Ето го:

Значи първо означавам log₂X да е равен на V:

5^XV + x.3^X - 4^X.V ≥ 3^XV + x.5^X - x.4^X

След това прехвърлям V-тата от едната страна , а останалите от другата и се получава това:

V(5^X - 4^X - 3^X) ≥ x(5^X - 4^X - 3^X)

Тук при X=2 изразът в скобите е 0 , от където се получава 0≥0 , което е изпълнено.

При X<2 изразът е отрицателен , за това при делението знакът се обръща:

V ≤ x
log₂X ≤ log₂2 ^x
x ≤ 2^x , което е изпълнено за всяко x [tex] \in [/tex] R

Аналогично при X≥2 се получава:
x≥2^x , което н.р.

И накрая получаваме , че Х≤2 , но и забравих , че Х трябва да е по-голямо от 0 заради log , от където получаваме , че Х [tex]\in[/tex] (0;2].

[Spider Iovkov]

[tex]5^x.log_{2}x+x.3^x-4^x.log_{2}x\ge 3^x.log_{2}x+x.5^x-x.4^x, \\ DM_{x}: x\in (0;+\infty);\\ 5^x.log_{2}x-4^x.log_{2}x-3^x.log_{2}x\ge x.5^x-x.4^x-x.3^x \Leftrightarrow (5^x-4^x-3^x)log_{2}x\ge (5^x-4^x-3^x)x \Leftrightarrow (5^x-4^x-3^x)(log_2{x}-x)\ge 0[/tex]
* [tex]x\in (0;1) \Rightarrow log_{2}x-x<0, 5^x-4^x-3^x<0[/tex] и неравенството е изпълнено;
* [tex]x\in (1;2] \Rightarrow 5^x-4^x-3^x>0[/tex], а при [tex]x=2[/tex] става [tex]0[/tex], [tex]log_{2}x-x>0[/tex] и неравенството е изпълнено;
* [tex]x\in (2;+\infty) \Rightarrow 5^x-4^x-3^x>0, log_{2}x-x<0[/tex] и неравенството няма решение.
[tex]x\in (0;2][/tex]

[ганка симеонова]

Мисля, че и двете решения имат по една съществена грешка. По- скоро това на Емо.
Значи за всяко [tex]x>0=>log_2x-x<0 [/tex]
За първото- не ми стана ясно, защо при х<2=> изразът е отрицателен. Мисля, че трябва да се докаже.

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

Представяме неравенството във вида [tex] (5^x-4^x-3^x)(log_2x-x)\ge 0 [/tex]
Ще докажем, че [tex]log_2x-x<0; x>0 [/tex] За целта го представяме във вида [tex] 2^x>x [/tex]
Чрез метода на мат индукция лесно се доказва, че [tex]2^n\ge n+1 [/tex], за всяко естествено n. При n=1 това е очевидно, а от [tex]2^{n+1}\ge 2(n+1)>n+2=>2^n>n+1; n\ge 2 [/tex]
Нека х>0 е реално число. Да означим с n цялата част на х. Тогава [tex] 2^x>2^n>n+1>x[/tex]
Следователно разглежданото неравенство е еквивалентно на [tex] 3^x+4^x\ge 5^x=>(\frac{3}{ 5})^x+(\frac{4}{5 })^x\ge 1 [/tex]
Функцията в ляво е намаляваща и понеже [tex](\frac{3}{ 5})^2+(\frac{4}{5 })^2=1[/tex], то решенията са [tex]x\in (0; 2] [/tex]