граница на редица

[drago_prd]

Здравейте!
Не мога да реша една граница на редица. Ще се радвам ако ми помогнете с някакви идеи.



[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}}[/tex]

Единственото, което ми хрумва е да разложа степента в знаменателя:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{5^n-6^n}{5.5^n+6.6^n}}[/tex]

Трябва да се получи отговор: [tex]-\frac{1}{6}[/tex]

Благодаря.

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{5^n-6^n}{5^{n+1}+6^{n+1}}}[/tex]
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{5^n(1-(\frac{6}{5})^n)}{5^n(5+6(\frac{6}{5})^n)}}[/tex]
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1-(\frac{6}{5})^n}{5+6(\frac{6}{5})^n}}[/tex]
Нека [tex](\frac{6}{5})^n = k[/tex] Тогава разглеждаме границата(6/5^n е растяща ф-я, значи при н-> безкрай, 6/5^n -> bezkrai):
[tex]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{1-k}{5+6k} =\lim_{k \rightarrow \infty}{k\frac{\frac{1}{k}-1}{k(\frac{5}{k}+6)} = -\frac{1}{6} [/tex]

[gdimkov]

Един по-пряк път.
[tex]\lim_{n\to \infty }\,\frac {5^n-6^n}{5.5^n+6.6^n}=\lim_{n\to \infty }\,\frac {6^n.\left ( \left (\frac {5}{6}\right )^n-1\right )}{6^n.\left (5.\left (\frac {5}{6}\right )^n+6\right )}=\lim_{n\to \infty }\,\frac {\left (\frac {5}{6}\right )^n-1}{5.\left (\frac {5}{6}\right )^n+6}[/tex]
Тъй като 5/6<1, [tex]\lim_{n\to \infty }\left (\frac {5}{6}\right )^n=0[/tex] и с това задачата е решена.