Трапец - задачи

[Spider Iovkov]

Задача 10. Нека даденият триъгълник e [tex]\triangle ABC[/tex]. По условие [tex]AC=BC=10, AB=6[/tex]. Нека вписаната окръжност [tex]k[/tex] да се допира до [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно в точките [tex]Q[/tex] и [tex]P[/tex]. Нека също така да е дадена и точката на допиране на окръжността с [tex]AB[/tex], например [tex]K[/tex], и за определеност [tex]\angle ACB=\gamma[/tex]. Понеже точките [tex]A, B, C[/tex] са външни за окръжността то [tex]AQ=AK, BP=BK, CQ=CP[/tex] (равни допирателни). Но [tex]CK[/tex] разполовява [tex]AB[/tex] и [tex]\Rightarrow AK=BK=3 \Rightarrow AQ=BP=3, CQ=CP=7[/tex]. Ще е изпълнено и [tex]\angle ABC=\angle BAC=90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Тъй като допирателните през върха [tex]C[/tex] също са равни (което лесно може да се установи с еднаквост), то [tex]\angle QPC=\angle PQC=90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Оттук по първи признак [tex]\triangle ABC\approx \triangle QPC[/tex] и от подобието следват отношенията [tex]\frac{AB}{QP}=\frac{BC}{PC}=\frac{AC}{QC}[/tex].
[tex]\frac{AB}{QP}=\frac{BC}{PC} \Leftrightarrow \frac{6}{QP}=\frac{10}{7} \Leftrightarrow QP=4,2[/tex].

Задача 2. Даден е [tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]AB=15, AC=10[/tex], [tex]AD[/tex] е ъглополовяща, [tex]D\in BC[/tex], [tex]t||AB[/tex], като [tex]t[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точката [tex]E[/tex]. Трябва да намерим дължините [tex]AE, EC, DE[/tex].
Знаем, че [tex]ED||AB \Rightarrow \angle ADE=\angle DAB[/tex]. Но [tex]\angle EAD=\angle DAB[/tex], защото [tex]AD[/tex] е ъглополовяща. Тогава [tex]AE=DE[/tex].
От свойството на ъглополовящата определяме [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB} \Leftrightarrow \frac{DC}{DB}=\frac{2}{3}[/tex]. Но понеже [tex]ED||AB[/tex] и [tex]\angle CED=\angle CAB[/tex] (равни ъгли при пресичането на две успоредни прави с трета права), то [tex]\triangle ABC\approx \triangle EDC[/tex] и от подобието следват отношенията [tex]\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}[/tex]. От първите две имаме [tex]\frac{15}{ED}=\frac{5}{2} \Leftrightarrow ED=6 \Rightarrow AE=6[/tex]. [tex]AE+EC=AC \Leftrightarrow EC=4[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

На 9-та си продължаваш бедрата до пресичането им в точка F. Тогава имаш подобието на CDF и MNF, а също и CDF ABF. От там намираш МN = 5. Тази другата се решава само прилагане на теоремата за ъглополовящата и Талес.
П.П а за тази 10та, аз лично бих ползвал, че допир. отсечките от C до окръжността са = p-AB. Сега с 1 косинусова теорема си намирам ъгъл C и после пак с косинусова теорема си намираш търсената отсечка

[Zlatinster]

9 я реших като построих АС и разгледах подобни триъгълници като намерих 2те части на MN

[NoThanks]

А, да, и така може. Отношениятата ти са грешни. Ако си построил AC имаш че:
[tex]MP:CD=3x:4x = MP:4[/tex]

[Zlatinster]

Опрайх ги вече само тази остана 1)В трапеца ABCD (AB||CD) с основи AB=5 cm и CD=3 cm диагоналите AC и BD се пресичат в точка О.Права,минаваща през точка О и успоредна на основите пресича AD и BC съответно в точки P и Q.Дължината на отсечката PQ е равна на ... ?

[Zlatinster]

реших я вече с подобни триъгълници

[inimitably]

На 4-та задача разгледай двойките подобни триъгълници ▲ AMP и ▲DPC , и ▲BQM и ▲CQD . Оттам забелязваш ,че правата PQ e успоредна на AB и DC и отношението MP:PO=MQ:QC=2:1.
За 5-та задача просто трябва да знаеш ,че точка М разделя медианите в отношение 2:1 считано от върха на съответната медиана.

[Zlatinster]

7 задача как да я реша?

[r2d2]

Вземи и напиши човрешки условието на зад. 7. Ще изтрия прикрепените файлове!
Срок 20.00

[_sssss]

7з.
ABD~OBD (така ли се отбелязваше подобност?) => [tex]\frac{AB}{MO }=\frac{AD}{ OD} [/tex]
ANO~ACD => [tex]\frac{CD}{ NO} =\frac{AD}{AD+DO } [/tex]

=> MO=7DO/AD; NO=3 + 3DO/AD; MN=3+10DO/AD;

DCO~ABO => 3/7=OD/(AD+OD);
=> OD/AD=3/4

MN=3 + 7.5=10.5