Показателно неравенство

Spider Iovkov

[tex]x3^{x+1}<x\frac{2x-8}{2x-1}[/tex]

Реклама

NoThanks · Гост

Това мисля, че се решава само графично Wink

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Dec 27, 2008 5:54 pm Заглавие:

Абсолютли

И според мен, е така.

estoyanovvd · Пуснато на: Sat Dec 27, 2008 6:06 pm Заглавие:

Е, графично! Графиките помагат само да се разгледат подходящите интервали!

NoThanks · Гост

Аз поне имах предвид да си начертаем 2те графики(разгл. 2 случая х>0 х<0) и виждаме в кои интервали едната е под/над другата.

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Dec 28, 2008 10:17 am Заглавие:

Стига толкова спам. Да решим все пак задачата.
Означаваме [tex]f(x)=\frac{2x-8}{ 2x-1} ; x\ne \frac{1}{2 } [/tex]
[tex]f'(x)=\frac{14}{(2x-1)^2 }>0=>[/tex] функцията е растяща за всяко [tex]x\in (-\infty;\frac{1}{2 })\cup (\frac{1}{2 } ; +\infty ) [/tex]
[tex]\lim_{x\to\pm\infty }f(x)=1=>y=1 [/tex] е хоризонтална асимптота за функцията и [tex]x=\frac{1}{2 } [/tex] е вертикална асимптота.
Освен това [tex]f(x)>1, x\in (-\infty ; \frac{1}{2 }) [/tex] и [tex]f(x)<1, x\in (\frac{1}{2 } ; +\infty ) [/tex]
Очевидно х=0 не е решение на неравенството. Нека 1) х<0. Тогава искаме да е изпълнено
[tex]3^{x+1}>\frac{2x-8}{ 2x-1} [/tex] За [tex] x\le -1=>3^{x+1}\le 3^0=1; f(x)>1 [/tex], т.е. неравенството не е изпълнено.
При [tex]-1<x<0 =>3^{x+1}<3; f(x)>f(-1)=\frac{10}{3 } >3 [/tex] => и тук неравенството не се изпълнява.
2) Нека х>0. Сега задачата е равносилна с [tex]3^{x+1}<\frac{2x-8}{ 2x-1} [/tex]. При [tex]0<x<\frac{1}{2 }=>3^{x+1}<3\sqrt{3}; f(x)>f(0)=8>3\sqrt{3}[/tex]- тук неравенството е изпълнено. При [tex] x>\frac{1}{2 }=>3^{x+1}>3\sqrt{3}; f(x)<1[/tex] - неравенството пак не е изпълнено.
Тогава окончателното решение е [tex]x\in (0; \frac{1}{2} ) [/tex]

geriniki · Пуснато на: Sun Mar 08, 2009 10:28 pm Заглавие:

и аз имам едно показателно неравенство с което не мога да се справя...въпреки че ми изглежда много просто

[tex] 3^{x+\frac{1}{ 2} } + 3^{x-\frac{1}{2 }} \ge 4^{x+\frac{1}{2 } - 2^{2x-1} [/tex]

отг е х е в интервала [tex](-\infty ; \frac{3}{2 } ] [/tex]

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 09, 2009 7:47 am Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 09, 2009 8:55 am Заглавие:

[tex]3^{x+\frac{1}{ 2} } + 3^{x-\frac{1}{2 }} \ge 4^{x+\frac{1}{2 }} - 2^{2x-1} [/tex]

[tex]\sqrt{3}3^x+\frac{3^x}{\sqrt{3} } \ge 2.4^x-\frac{4^x}{2} =>\frac{3^x4}{ \sqrt{3} }\ge\frac{3.4^x}{2 }=>\frac{3^x}{4^x } \ge \frac{3\sqrt{3} }{ 2.4} =>(\frac{\sqrt{3} }{2 })^{2x}\ge (\frac{\sqrt{3} }{2 })^3=>2x\le 3=>x\le \frac{3}{2 } [/tex]