Ирационално уравнение

[ганка симеонова]

[tex] (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})+3x(2+\sqrt{9x^2+3} )=0 [/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Лявата страна е растяща, т.е има единствен корен, равен на [tex]-\frac{1}{5}[/tex]

[ганка симеонова]

Как доказа, че е растяща и защо този единствеен корен е -1/5?

[Пафнутий]

Попринцип за растяща ми се стори очевидно, иначе мисля, че можем да постъпим по следния начин. Да си положим за улеснение [tex]a=2x+1[/tex] и [tex]b=3x[/tex] и тогава нека
[tex]f(x)=2(a+b)+a\sqrt{a^2+3}+b\sqrt{b^2+3}[/tex], който не се е усетил това е горната функция. И после разглеждаме разликата [tex]f(x+p)-f(x)[/tex], за произволно [tex]p\in \mathbb{R^{+}}[/tex] и лесно доказваме, че тя е по-голяма от 0, т.е функцията е растяща ([tex]p[/tex] е произволно). От горното разлагане лесно пък се вижда, че [tex]f(x)=0[/tex] се достига при [tex]a=-b[/tex] и като се върнем в полагането намираме [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex].От това, че е растяща вече знаем, че има единствен корен, т.е [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex] е единствено решение на горното уравнение.

[NoThanks]

Моето май не е съвсем вярно
Нека означим лявата страна с А. Да отбележим и че нямаме никакви допустими стойности.
Нека положим [tex]2x+1=a \; 3x=b[/tex] Тогава:
[tex]A = a(2+\sqrt{a^2+3}) +b(2+\sqrt{b^2+3})[/tex]
Нека сега положим [tex]a^2+2=k \; b^2+2 =p[/tex]
Имаме
[tex]A=a(2+\sqrt{k+1}) +b(2+\sqrt{p+1})[/tex]
От неравенството на Бернули имаме:
[tex]\sqrt{k+1} \ge 1+\frac{1}{2}k[/tex]
[tex]\sqrt{p+1} \ge 1+\frac{1}{2}p[/tex]
Тогава
[tex]A \ge a(2+1+\frac{a^2}{2}+1)+b(2+1+\frac{b^2}{2}+1)[/tex]
[tex]A \ge a(4+\frac{a^2}{2})+b(4+\frac{b^2}{2})=4a+\frac{a^3}{2}+4b+\frac{b^3}{2} = 4(a+b)+\frac{1}{2}(a+b)(a^2-ab-b^2) = (a+b)(4+\frac{1}{2}(a^2-ab+b^2)[/tex]
Решаваме последното, което сме получили = 0
[tex](a+b)(4+\frac{1}{2}(a^2-ab+b^2)=0[/tex]
Сега дясната скоба е 4 + непълен квадратен 3член и е >0. Остава а=-b
=> 2x+1=-3x => x=-1/5
T.e получихме, че А е по-голямо или равно от полином, който има единствена нула => A може евентуално да има нула, ако равенството е изпълнено => x =-1/5

[ганка симеонова]

Въпросът ми е към Станислав. Би ли написал доказателство, за това че
[tex]f(x+p)-f(x) [/tex] е растяща функция?

[Spider Iovkov]

Нека да означим [tex]f(x)=(2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})+3x(2+\sqrt{9x^2+3})[/tex]. Тази функция ще е монотонно растяща, ако нейната първа прозиводна [tex]f'(x)[/tex] е винаги положителна, тоест е изпълнено [tex]f'(x)>0[/tex]. Първата производна на функцията е [tex]f'(x)=\frac{2\sqrt{(2x+1)^2+3}[2+sqrt{(2x+1)^2+3}]+2(2x+1)^2}{\sqrt{(2x+1)^2+3}}+\frac{3[\sqrt{9x^2+3}(2+\sqrt{9x^2+3})+9x^2]}{\sqrt{9x^2+3}}[/tex]. Понеже няма стойности, които анулират нейния числител, то тя е винаги положителна и следователно дадената функция винаги расте.

[Пафнутий]

[tex]f(x+p)=2(a+b+5p)+a\sqrt{(a+p)^2+3}+2p\sqrt{(a+p)^2+3}+b\sqrt{(b+p)^2+3}+3p[/tex][tex]\sqrt{(b+p)^2+3}> 2(a+b)+10p+a\sqrt{a^2+3}+b\sqrt{b^2+3}+p(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3})(*)[/tex] и понеже [tex](*)-f(x)=10p+p(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3})>0[/tex] , то f(x) е растяща
ПП Според мен беше безсмислено, но щом толкова настоявахте

[ганка симеонова]

Или аз вече наближавам 40- те и изкуфявам, или наистина решението не ми харесва... Не като мисъл, а като изписване..

[mkmarinov]

Полагаме [tex]2x+1 = a ; 3x = b[/tex]
Уравнението придобива вида [tex]a(2+\sqrt{a^2 + 3}) = -b(2+\sqrt{b^2 + 3})[/tex]
Полагаме [tex]f(t) = t(2+\sqrt{t^2 + 3})[/tex], която е очевидно нечетна. Уравнението придобива вида [tex]f(a) = -f(b) <=> f(a) = f(-b)[/tex]
[tex]a = -b[/tex]
[tex]2x+1 = -3x[/tex]
[tex]5x = -1[/tex]
[tex]x = -\frac{1}{5}[/tex]

[Пафнутий]

Откъде знаеш, че от [tex]f(a)=f(-b)[/tex] следва, че [tex]a=-b[/tex]. Функцията не ми изглейда линейна...

[martosss]

[estoyanovvd]

[ганка симеонова]

Точно така Функцията е растяща.

[Пафнутий]