Малко тригонометрични уравнения

[Invincible]

това са уравненията.. ако някой може да ги драсне плс... и много моля ако някой ми обясни кога в отговора на уравнението пишем П, кога Л и кога Н ...много 10х предварително ))

[Реклама]

[Invincible]

а и другото което не мога да схвана, когато положим примерно cos2x=t
какви са Д.С на t

[Tony_89]

Какво искаш да кажеш с първия си въпрос: П,Л и Н?
А за втория:
cos от каквото и да е принадлежи на интервала [-1;1]

[Invincible]

[Tony_89]

1.

2*cotg(4*x) - cotg(2*x) = tg(x)
2*(cotg(2*x) - tg(2*x))/2 - cotg(2*x) = tg(x)
cotg(2*x) - tg(2*x) - cotg(2*x) = tg(x)
tg(2*x) + tg(x) = 0
2/(cotg(x) - tg(x)) + tg(x) = 0 /*(cotg(x) - tg(x))
2 + tg(x)*(cotg(x) - tg(x)) = 0
2 + tg(x)*cotg(x) - tg(x)² = 0
2 + 1 - tg(x)² = 0
tg(x)² = 3
tg(x) = +-SQRT(3)
x = п/2 +- п/6 + k*п k E Z

Само че ще използвам темата за да задам един въпрос относно тригонометрични уравнения, в които участват tg/cotg:

Няма cotg(0 + k*п) и tg(п/2 + k*п), но това значи ли, че за всеки tg и cotg трябва да пиша ДС?

[uktc]

[uktc]

3-2(sin2x)^2=2(sinx)^2
3-2(sin2x)^2-2(sinx)^2=0
2-2(sin2x)^2+1-2(sinx)^2=0
2-2(sin2x)^2+cos2x=0
2-2[1-(cos2x)^2]+cos2x=0
cos2x{2cos2x+1}=0

cos2x=0
2x=п/2+kп
x=п/4+kп/2

2cos2x+1=0
cos2x=-1/2
2x=+-2п/3+2kп
x=+-п/3+кп

______________________

[uktc]

[cos(x-п/8 )]^2 -[cos(x+п/8 )]^2=1/2 |*2
2[cos(x-п/8 )]^2 -1 -2[cos(x+п/8 )]^2+1=1
cos(2x-п/4)-cos(2x+п/4)=1
2sin{(2x-п/4+2x+п/4)/2}sin{(2x+п/4-(2x-п/4))/2}=1
2sin2x. sqrt(2)/2=1
sin2x=sqrt(2)/2

2x=п/4+2kп
x=п/8+kп

2x=3п/4+2kп
x=3п/8+kп

По-късно ще ти напиша и други.

[Tony_89]

4.

sin(x)⁴ + cos(x)⁴ = sin(2*x) - 0,5
sin(x)⁴ + 2*sin(x)²*cos(x)² + cos(x)⁴ - 2*sin(x)²*cos(x)² = sin(2*x) - 1/2
(sin(x)² + cos(x)²)² - 2*sin(x)²*cos(x)² = 2*sin(x)*cos(x) - 1/2
1 - 2*sin(x)²*cos(x)² = 2*sin(x)*cos(x) - 1/2
2*sin(x)²*cos(x)² + 2*sin(x)*cos(x) - 3/2 = 0 /*2
4*sin(x)²*cos(x)² + 4*sin(x)*cos(x) - 3 = 0
(2*sin(x)*cos(x))² + 2*2*sin(x)*cos(x) - 3 = 0
sin(2*x)² + 2*sin(2*x) - 3 = 0
Нека sin(2*x) = u E [-1;1]
u² + 2*u - 3 = 0
(u - 1)*(u + 3) = 0
u = 1 или u = -3, което не е решение
u = 1
sin(2*x) = 1
2*x = п/2 + 2*k*п k E Z
x = п/4 + k*п

[uktc]

sin8x+sin5x+sinx=sin2x
sin8x-sin2x+sin5x+sinx=0
2sin3x.cos5x+2sin3x.cos2x=0
2sin3x[cos5x+cos2x]=0
2sin3x.2.cos(7x/2).cos(3x/2)=0

*
sin3x=0
3x=kп
x=kп/3

*
cos(7x/2)=0
7x/2=п/2+kп
x=п/7+2kп/7

*
cos(3x/2)=0
3x/2=п/2+kп
x=п/3+2kп/3

[uktc]

[Invincible]

отново ОГРОМНО БЛАГОДАРЯ !!!

[Invincible]

Това е последната (надявам се) част от тоя раздел

отново благодаря на отзовалите се

[uktc]

(A) 2[sin(x/2)]^4 -1=2[cos(x/2)]^4 |*4

8[sin(x/2)]^4 -4=8[cos(x/2)]^4
cos2x-4cosx+3-4=cos2x+4cosx+3
8cosx=-4
cosx=-1/2
x=+-2п/3 +2kп

[uktc]

8(cosx)^4 -cos4x=1
cos4x+4cos2x+3-cos4x=1
4cos2x=-2
cos2x=-1/2
2x=+-2п/3 +2kп, k E Z
x=+-п/3+kп

[uktc]

3-5(cosx)^4=3(sinx)^4
(A) 3(sinx)^4+5(cosx)^4-3=0
(sinx)^4=(1-(cosx)^2)^2=1-2(cosx)^2 +(cosx)^4 (1)
Заместваме (1) в (A) и (A) добива вида:
4(cosx)^4-3(cosx)^2=0
[(cosx)^2][4(cosx)^2-3]=0

I
cosx=0
x₁=п/2+kп

II
(cosx)^2=3/4

*
cosx=sqrt(3)/2
x₂=+-п/6+2kп

*
cosx=-sqrt(3)/2
x₃=+-5п/6+2kп

[uktc]

8(sinx/3)^4=5-8(cosx/3)^4
8{(sinx/3)^4+2[(sinx/3)^2][(cosx/3)^2]+(sinx/3)^4 -2[(sinx/3)^2][(cosx/3)^2]}-5=0
8{[(sinx/3)^2+(sinx/3)^2]^2 -2[(sinx/3)^2][(cosx/3)^2]}-5=0

8{[1]^2 -2[(sinx/3)^2][(cosx/3)^2]}-5=0
8-16[(sinx/3)^2][(cosx/3)^2]-5=0
8-4(sin2x/3)^2-5=0
(sin2x/3)^2=3/4

I
sin2x/3=sqrt(3)/2

*
2x/3=п/3+2kп
x₁=п/2+3kп

*
2x/3=2п/3+2kп
x₂=п+3kп

II
sin2x/3=-sqrt(3)/2
Аналогично
x₃=-п+kп
x₄=-п/2+kп

[uktc]

[Invincible]

Мноооооого благодаря

но уви не са последните

10х

[Tony_89]

1.

4*cos(x/2)³ + 3*SQRT(2)*sin(x) = 8*cos(x/2)
8*cos(x/2) - 4*cos(x/2)³ - 3*SQRT(2)*sin(x) = 0
8*cos(x/2) - 4*cos(x/2)³ - 3*SQRT(2)*2*sin(x/2)*cos(x/2) = 0
8*cos(x/2) - 4*cos(x/2)³ - 6*SQRT(2)*sin(x/2)*cos(x/2) = 0
2*cos(x/2)*(4 - 2*cos(x/2)² - 3*SQRT(2)*sin(x/2)) = 0 /*(1/2)
cos(x/2)*(4 - 2*cos(x/2)² - 3*SQRT(2)*sin(x/2)) = 0
cos(x/2) = 0 или 4 - 2*cos(x/2)² - 3*SQRT(2)*sin(x/2) = 0

cos(x/2) = 0
x/2 = п/2 + k*п k E Z
x = п + 2*k*п

4 - 2*cos(x/2)² - 3*SQRT(2)*sin(x/2) = 0
2 - 2*cos(x/2)² + 2 - 3*SQRT(2)*sin(x/2) = 0
2*(1 - cos(x/2)²) + 2 - 3*SQRT(2)*sin(x/2) = 0
2*sin(x/2)² - 3*SQRT(2)*sin(x/2) + 2 = 0
Нека sin(x/2) = u E [-1;1]
2*u² - 3*SQRT(2)*u + 2 = 0
u₁ = SQRT(2)/2
u₂ = SQRT(2), което не е решение
u = SQRT(2)/2
sin(x/2) = SQRT(2)/2
x/2 = п/2 +- п/4 + 2*k*п k E Z
x = п +- п/2 + 4*k*п

[uktc]

В неделя ще ти реша някое. Естествено ако Тони ми остави де

[Tony_89]

tg(x) + 2*cotg(2*x) = cos(x) + sin(2*x)

ДС:
|cos(x) ≠ 0
|sin(2*x) ≠ 0

cos(x) ≠ 0
x ≠ п/2 + m*п m E Z

sin(2*x) ≠ 0
2*x ≠ 0 + m*п m E Z
x ≠ m*п/2

|x ≠ п/2 + m*п
|x ≠ m*п/2

tg(x) + 2*cotg(2*x) = cos(x) + sin(2*x)
tg(x) + 2*(cotg(x) - tg(x))/2 = cos(x) + sin(2*x)
tg(x) + cotg(x) - tg(x) = cos(x) + sin(2*x)
cotg(x) = cos(x) + sin(2*x)
cos(x) + sin(2*x) - cotg(x) = 0
cos(x) + 2*sin(x)*cos(x) - cos(x)/sin(x) = 0
cos(x)*(1 + 2*sin(x) - 1/sin(x)) = 0
cos(x) = 0 или 1 + 2*sin(x) - 1/sin(x) = 0

cos(x) = 0
x = п/2 + k*п k E Z , но ДС: x ≠ п/2 + m*п =>
=> x = п/2 + k*п не е решение

1 + 2*sin(x) - 1/sin(x) = 0 /*sin(x)
sin(x) + 2*sin(x)² - 1 = 0
Нека sin(x) = u E [-1;1]
2*u² + u - 1 = 0
u₁ = -1
u₂ = 1/2

sin(x) = -1
x = 3*п/2 + 2*k*п k E Z
x = п/2 + п + 2*k*п = п/2 + (2*k + 1)*п, но ДС: x ≠ п/2 + m*п =>
=> x = 3*п/2 + 2*k*п не е решение

sin(x) = 1/2
x = п/2 ± п/3 + 2*k*п k E Z

[Tony_89]

8*cos(x/2)² + 6*sin(x/2)² = 6 - sin(x)
2*cos(x/2)² + 6*cos(x/2)² + 6*sin(x/2)² = 6 - sin(x)
2*cos(x/2)² + 6*(cos(x/2)² + sin(x/2)²) = 6 - sin(x)
2*cos(x/2)² + 6 = 6 - sin(x)
sin(x) + 2*cos(x/2)² = 0
2*sin(x/2)*cos(x/2) + 2*cos(x/2)² = 0
2*cos(x/2)*(sin(x/2) + cos(x/2)) = 0 /:2
cos(x/2)*(sin(x/2) + cos(x/2)) = 0
cos(x/2) = 0 или sin(x/2) + cos(x/2) = 0

cos(x/2) = 0
x/2 = п/2 + k*п k E Z
x = п + 2*k*п

sin(x/2) + cos(x/2) = 0
sin(x/2) + sin(п/2 - x/2) = 0
2*sin((x/2 + (п/2 - x/2))/2)*cos((x/2 - (п/2 - x/2))/2) = 0
2*sin(п/4)*cos(x/2 - п/4) = 0
2*(SQRT(2)/2)*cos(x/2 - п/4) = 0
cos(x/2 - п/4) = 0
x/2 - п/4 = п/2 + k*п k E Z
x/2 = п/4 + п/2 + k*п
x/2 = 3*п/4 + k*п
x = 3*п/2 + 2*k*п

P.S. Споко, uktc, ще ти оставя

[uktc]

Тони, интересно си подходил на трета задача. Аз съм направил друго обаче.
8(cosx/2)^2 + 6(sinx/2)^2=6-sinx
4.2(cosx/2)^2 + 3.2(sinx/2)^2+sinx-6=0
4(1+cosx) +3(1-cosx)+sinx-6=0
cosx+sinx=-1
[sqrt(2)][cos(x-п/4)]=-1
cos(x-п/4)=-sqrt(2)/2,
откъдето намираме x₁=п+2kп и x₂=-п/2+2lп.

6 зад.
(sqrt(3)+1)(sinx)^2-(sqrt(3)-1)sinxcosx=1.
Представяме единицата като (sinx)^2+(cosx)^2 и уравнението добива вида:
sqrt(3)(sinx)^2-(sqrt(3)-1)sinxcosx-(cosx)^2=0.
Очевидно уравнението е изпълнено, когато sinx и cosx са едновременно 0, обаче такъв случай не съществува .
Поставяме условието x≠kп/2, защото за тези ъгли едното от sinx и cosx e нула, а другото не е нула, т.е. условието не се изпълнява.
При x≠kп/2 можем да разделим двете страни на ур. на (cosx)^2.
То добива вида:
sqrt(3)(tgx)^2-(sqrt(3)-1)tgx -1=0, което е квадратно относно tgx.
Получаваме tgx=1 и tgx=-sqrt(3)/3
Първото уравнение има решения x₁=п/4+kп, а второто:
x₂=5п/6+kп, които изпълняват условието x≠kп/2.=>
Това са търсените корени.
Леле тая задача съм я решавал над 30 минути...

[uktc]

Четвърта зад. няма смисъл да се коментира според мен.
Представяме cos2x като (cosx-sinx)(cosx+sinx), и оттам метода за решаване е очеваден .

[Invincible]

много ви благодаря ОТНОВО и на двамата !

[uktc]

Давай още, че сме загряли
Тони, някакви идеи за 5-та зад.?

[Tony_89]

5*(sin(x) + cos(x)) + sin(3*x) - cos(3*x) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
5*(sin(x) + cos(x)) + 3*sin(x) - 4*sin(x)³ - (4*cos(x)³ - 3*cos(x)) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
5*(sin(x) + cos(x)) + 3*sin(x) - 4*sin(x)³ - 4*cos(x)³ + 3*cos(x) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
5*(sin(x) + cos(x)) + 3*(sin(x) + cos(x)) - 4*sin(x)³ - 4*cos(x)³ = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
8*(sin(x) + cos(x)) - 4*(sin(x)³ + cos(x)³) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
8*(sin(x) + cos(x)) - 4*(sin(x) + cos(x))*(sin(x)² - sin(x)*cos(x) + cos(x)²) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
8*(sin(x) + cos(x)) - 4*(sin(x) + cos(x))*(1 - sin(x)*cos(x)) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
8*(sin(x) + cos(x)) - 4*(sin(x) + cos(x))*(2 - 2*sin(x)*cos(x))/2 = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
8*(sin(x) + cos(x)) - 2*(sin(x) + cos(x))*(2 - sin(2*x)) = 2*SQRT(2)*(sin(2*x) + 2) /*(1/2)
4*(sin(x) + cos(x)) - (sin(x) + cos(x))*(2 - sin(2*x)) = SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
(sin(x) + cos(x))*(4 - (2 - sin(2*x))) = SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
(sin(x) + cos(x))*(sin(2*x) + 2) = SQRT(2)*(sin(2*x) + 2)
(sin(x) + cos(x))*(sin(2*x) + 2) - SQRT(2)*(sin(2*x) + 2) = 0
(sin(2*x) + 2)*(sin(x) + cos(x) - SQRT(2)) = 0
sin(2*x) + 2 = 0 или sin(x) + cos(x) - SQRT(2) = 0

sin(2*x) + 2 = 0
sin(2*x) = -2
sin(2*x) E [-1;1] =>
=> sin(2*x) = -2 не е решение

sin(x) + cos(x) - SQRT(2) = 0
sin(x) + cos(x) = SQRT(2)
sin(x) + sin(п/2 - x) = SQRT(2)
2*sin((x + п/2 - x)/2)*cos((x - (п/2 - x))/2) = SQRT(2)
2*sin(п/4)*cos(x - п/4) = SQRT(2)
2*(SQRT(2)/2)*cos(x - п/4) = SQRT(2)
SQRT(2)*cos(x - п/4) = SQRT(2) /:SQRT(2)
cos(x - п/4) = 1
x - п/4 = 2*k*п k E Z
x = п/4 + 2*k*п
[/i]