ЗМС 2006-Зад. 11.1, ЗМС 2005-зад. 11.2 и ПМТ 2004-зад11.1

[martosss]

а)Да се реши уравнението

[tex]log_a(a^{2(x^2+x)}+a^2)=x^2+x+log_a(a^2+1)[/tex],

където а е реален параметър.

б)(Александър Иванов) За кои стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] уравнението

[tex]lg(ax+1)=lg(x-1)+lg(2-x)[/tex]

има само еднорешение?

в)Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]log_{4ax}(x-3a)+\frac{1}{2}log_{x-3a}4ax=\frac{3}{2}[/tex]

има точно две различни решения.

[Реклама]

[_sssss]

б) [tex]a\in (-1;-\frac{1}{ 2} )\cup \{3-2\sqrt{3}\};[/tex]

в) [tex]a\in (0;\frac{1}{ 4} )/{\{\frac{1}{6 }\};[/tex]
?

[martosss]

На б) имаш два грешни символа
в) е вярна.

[r2d2]

Страхотно, всички разбрахме как се решават и т.н.

[martosss]

Хм, всъщност за б) засега аз успях да получа [tex](-1\: ;\: -\frac{1}{2}]\cup\left{3-2\sqrt{3}\right}[/tex], а в отговорът е дадено 3+2√3

П.П. давам време и на останалите участници от форума да се опитат да я решат, защото няма смисъл да пусна задача и след няколко часа да и постна решението Предполагам утре ще я разкрия(като коледен подарък ).

П.П. Сега погледнах авторското решение => 3-2√3 e верният отговор - имат техническа грешка Така че за сега seppen е изпусналa само едно решение => а=-½

[NoThanks]

a)
[tex]log_a(a^{2(x^2+x)}+a^2)=x^2+x+log_a(a^2+1)[/tex],
[tex]x^2+x = t \leftrightarrow x^2+x-t = 0[/tex]
[tex]DS_{t} \; t>-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]t=log_aa^t[/tex]
[tex]log_a(a^{2t}+a^2) = log_a(a^2+1)a^t[/tex]
[tex]a^{2t}+a^2 = a^2a^t + a^t[/tex]
[tex]a^t=p[/tex]
[tex]p^2+a^2=a^2p+p[/tex]
[tex]p^2-p(a^2+1)+a^2=0[/tex]
[tex]p=a^2 \; p=1[/tex]
[tex]a^t = a^2 => t =2[/tex]
[tex]x^2+x-2=0 => x=\frac{-1\pm3}{2} => x_{1} = 1 \; x_{2} = -2[/tex]
[tex]a^t = 1 => t=0 => N.R[/tex]
x = 1; x= -2

[martosss]

[NoThanks]

А да, верно. Както обикновено съм минал по допирателната имах спомен, че за t ми е >1/4, пък ти било -1/4, етц. Пък и то като го решаваме спрямо а би било добре като получим за дискриминантата (а^2-1)^2 да видим 1 случай = 0 после >0 и тн.

[martosss]

[_sssss]

Ще напиша в), защото ми е малко мътна.
[tex]log_{4ax}(x-3a) + 0.5*log_{(x-3a)}4ax=\frac{3}{ 2} [/tex]
D: 4ax>0; x-3a>0; x-3a<>1
t=log_4ax(x-3a)
2t² - 3t + 1=0 => t₁=1/2; t₂=1;
t₂=>x₂=[tex]\frac{3a}{1-4a } [/tex]
t₁=> [tex]x_{1} -3a=\sqrt{4ax_{1}} [/tex]
x₁² -10x₁a +9a²=0
x₁'=a; x₁"=9a

Проверявам за кои стойности на a съществуват.
4ax>0
x-3a>0
x-3a<>1

x₁' => a<0; a<>-1/2
x₁" => a>0; a<>1/6
x₂ => a<1/4; a<>(-4-62^0.5)/24

Уравнението има 2 решения при [tex]a\in (-\infty ; 0)\cup (0;\frac{1}{4 } )/\{\frac{-4-\sqrt{62}}{24}; -\frac{1}{2 }; \frac{1}{6 } \}[/tex]

Не разбирам защо изчезва [tex]a\in (-\infty ;0)[/tex]. Не го бях написала в отговора, защото така си подреждам решенията, че в последствие и аз не мога да си ги чета.

[martosss]

[_sssss]

Боже, Божье
16+48 не е 62, а 64. Гнусния корен го няма. -1/2 и 1/6 отново. значи остава. [tex](-\infty ;\frac{1}{4 } )\{-\frac{1}{2 }; 0; \frac{1}{ 6}\} [/tex]Ще си направя сепуку.

Чакам решението.

[martosss]

в)Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]log_{4ax}(x-3a)+\frac{1}{2}log_{x-3a}4ax=\frac{3}{2}[/tex]

има точно две различни решения.

[tex]D.S.\begin{tabular}{|1}4ax>0\\4ax\ne 1\\x-3a>0\\x-3a\ne 1\end{tabular}[/tex]
Полагаме [tex]log_{4ax}(x-3a)=k\Right[/tex]

[tex]\Right k+\frac{1}{2}*\frac{1}{k}=\frac{3}{2}\\k^2-\frac{3}{2}k+\frac{1}{2}=0\\(k-1)(k-\frac{1}{2})=0\\k=1\cup k=\frac{1}{2}\Right[/tex]

[tex]\Right log_{4ax}(x-3a)=1\: \cup\: log_{4ax}(x-3a}=\frac{1}{2}\\x-3a=4ax\;\;\cup\;\;x-3a=\sqrt{4ax}\\(4a-1)x=-3a\;\;\cup\;\; x^2-6a+9a^2=4ax\\(4a-1)x=-3a\:\cup\: (x-a)(x-9a)=0\\x=a\;\; \cup\;\; x=9a\;\;\cup\;\; (4a-1)x=-3a[/tex]

Сега имаме три решения, трябват ни 2 различни, които са в ДС... първо да уточним третото:
1)[tex]a=\frac{1}{4}\Right 0x=-\frac{3}{4}\Right N.R.[/tex]
Понеже търсим две решения, то x=a и х=9а трябва да са в ДС за а=¼, тоест

Имаме решения x=1/4 и х=9/4, които трябва да изпълняват ДС:
x>0
x≠1
x>3/4
x≠7/4

Откъдето x>3/4, но [tex]x_1=\frac{1}{4}<\frac{3}{4}\Right x_1\notin D.S.\Right a\ne \frac{1}{4}[/tex]

2)[tex]a\ne\frac{1}{4}\Right[/tex]

[tex]\red\fbox{x_1=-\frac{3a}{4a-1}=\frac{3a}{1-4a}\\x_2=a\\x_3=9a}[/tex]
Сега разглеждаме два подслучая:

2.1) a>0

[tex]x_2=a,\: DS:\: x>3a\Right a>3a\Right a<0 \Right x=a\:\cyr{ne e reshenie}\\\cyr{t\cdprimersim stoinosti na a, za koito x_1 i x_3 sa resheniya - zamestvame v D.S.:}\\[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}9a\ne \frac{3a}{1-4a}\\4*a*9a>0\\4a*9a\ne 1\\9a-3a>0\\9a-3a\ne 1\\4a*\frac{3a}{1-4a}>0\\4a*\frac{3a}{1-4a}\ne 1\\\frac{3a}{1-4a}-3a>0\\\frac{3a}{1-4a}-3a\ne 1\end{tabular}\Leftright \begin{tabular}{|1}a\ne \frac{1}{6}\\a\ne 0\\a\ne \pm\frac{1}{6}\\a>0\\a\ne \frac{1}{6}\\a<\frac{1}{4}\\a\ne \frac{1}{6}\cup a\ne \frac{-1}{2}\\a<\frac{1}{4}\\a\ne \frac{1}{6}\cup a\ne \frac{-1}{2}\end{tabular}\Right \fbox{a\in (0\: ;\: \frac{1}{4})\backslash\left{\frac{1}{6}\right}}[/tex]

[tex]2.2) a<0\Right x=9a,\: D.S.: x>3a\Right a>0\Right \cyr{x_3 ne e reshenie, ostava x_1 i x_2 da sa resheniya,\\ toest tryabva da e izp\cdprimelnena sistemata:}\\[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|1}a\ne \frac{3a}{1-4a}\\\vdots\end{tabular}\Right a\in (-\infty\: ;\: 0)\backslash\left{-\frac{1}{2}\right}[/tex](Системата е аналогична на горната, просто се заместват х1 и х2 в ДС и освeн това [tex]x_1\ne x_2[/tex] )

Окончателно [tex]a\in(-\infty\: ;\: \frac{1}{4})\backslash\left{-\frac{1}{2}\: ;\: 0\: ;\: \frac{1}{6}\right}[/tex]

[martosss]