Интересна задача

[sd_pld]

Попаднах на следната интересна задача:
Дадени са няколко планети с радиус 1.Върху повърхността на всяка от тях маркираме всички точки,от които не се вижда нито една от другите планети.Да се докаже, че сумата от лицата на всички маркирани области
е равна на лицето на повърхнината на една планета.



Ако някой има някаква идея може да я сподели?

[Реклама]

[M_Velinova]

Здравей sd_pld!

Върти ми се в главата такава идея.
Ще я опиша съвсем кратко и нестрого.
Тъй като планетите са разположени по произволен начин, за нас са интересни само тези планети, чиито центрове образуват изпъкнал многостен.
Ако обявим една от планетите за главна и разделим нейната повърхнина на 2 подмножества Y и N: точките от Y- вижда се точка от някоя планета, N- не се вижда точка от нито една планета.

Тук да се разгледат транслации на точките (с противоположни вектори ръба на многостена) от Y и N до произволна планета и се докаже взаимна еднозначност. Доказва се, че Y точка ще отиде в N точка от другата планета. Още, че 2 N- точки от неглавни планети отиват в различни Y- точки на главната.

Vel

[sd_pld]

vel,идеята ти е доста добра.
Относно разсъждението,че Y отива в N- точка,мисля че е вярно.Немога ,обаче да разбера защо е вярно другото разсъждение ,че 2N-точки от неглавни планети отиват в Y-точки на главната.Би ли пояснил как точно се стига до този извод? Все пак мисля ,че си близко да решението,защото там откъдето видях задачата пишеше ,че е от принцип на крайния елемент.Вероятно трябва главната планета да се избере най-голяма или най-малка.
Аз имам идея ,задачката да се докаже по индукция,но немога да завърша решението.
При 1 планета твърдението е очевидно.
Имайки k=n планети,от всяка N-точка на произволна планета можем да построим допирателна към съответната планета.Всяка такава равнина ще разделя пространството на 2 части, в една от които няма други планети.
Тези равнини/по-точно равнините през крайните точки на N-подмножеството за всяка планета/ ще формират изпъкнала триизмерна обвивка за нашите планети.Ако имаме ,че твърдението е изпълнено в този случай,то добавяйки една планета,трябва да докажем ,че сборът от повърхностите,които от N са станали Y/от предишните планети/ се компенсира от N-повърхноста от добавената планета.
Когато добавената планета се намира в изпъкналата обвивка твърдението отново е изпълнено,защото цялата добавена планета е с Y повърхност.Когато добавената планета е извън обвивката ,обаче незнам как да процедирам.Вероятно тук може да се измисли продължение,чрез твоята идея /като се избере добавената планета за главна примерно/

[M_Velinova]

Спретнах една не дотам добра картинка. Ако докажем, че на всяка Y- т.е. видима точка на главната планета съществува точно една N- невидима точка от някоя планета, мисля, че твърдението ще е доказано.

И аз започнах с индукция, но ми се видя сложно, а може би е и невъзможно...

Vel

[sd_pld]

Дам,прав си...с индукция става много сложно.Точно това трябва да се докаже ,за което говориш.Картинката добре илюстрира това ,за което става въпрос.
Ще направя опит за някакво описание на задачата.
Избираме си една главна планета.Всяка точка от N-повърхността със сигурност отива в Y-точка на главната планета,при траслациите,за които стана дума..Ако допуснем противното можем лесно да стигнем до противоречие,прекарвайки допирателните през съответните 2 точки от N-повърхността.Остава да докажем ,че не е възможно на една Y-точка да съответства винаги друга Y-точка,колкото и транслации да правим и също така ,че на никоя Y-точка от главната планета не съответстват 2 или повече N-точки.