много известна функция

[broniran_potnik]

Функцията [tex]f[/tex] е дефинирана в множеството на естествените числа и удовлетворява следните условия:
[tex] i) f(1)=1[/tex]
[tex]ii) f(2n)=f(n)[/tex] и [tex] f(2n+1)=f(2n)+1[/tex] за произволно естествено число [tex]n[/tex].
Да се намери най-голямото число от вида [tex]M=f(n)[/tex], за което [tex]n\le2008[/tex] и да сe пресметне за колко естествени числа [tex]n\le 2008[/tex] е в сила равенството [tex]f(n)=M[/tex]

[Реклама]

[martosss]

От 1) и 2) имаме, че [tex]f(1)=f(2)=f(4)=\cdots =f(2^n)=1[/tex]
После от 1) и 3) последователно имаме
[tex]f(k)=1\\f(2k+1)=2\\f(4k+3)=3\\f(8k+7)=4\\f(16k+15)=5\\f(32k+31)=6\\f(64k+63)=7\\f(128k+127)=8\\f(256k+255)=9\\f(512k+511)=10\\f(1024k+1023)=11[/tex], където [tex]k\in N[/tex] и f(k)=1, тоест [tex]k=2^n, n\in N_0[/tex]

Най-малкото к, удовлетворяващо тези равенства е к=1
От последното получаваме, че при k=1 следва f(2047)=11, но k трябва да е ≤2008, откъдето к=11 е невъзможно, остава к=10, тоест трябва да е изпълнено уравнението f(512k+511)=10, където 512k+511≤2008 => k≤1497/512=2.92..., но к е цяло, тоест к=1 или к=2, като и двете са точни степени на двойката, с което M=10 и има точно 2 числа n, изпълняващи условието - 1023 и 1535, които се получават при к=1 или к=2

[broniran_potnik]

Баронов наистина с онзи пост развали хубавата задача. И martosss, какво ще кажеш за [tex]n=1791,1919,1983[/tex].

[martosss]

ще кажа, че може да имаме и други варианти, които ми е по-трудно да обясня...
f(1)=1
f(3)=2
f(6)=2
f(13)=3
f(27)=4
f(55)=5
.
.
.
Тоест в началото се умножава по 2 и тогава се продължава с умножаването, това го пропуснах като вариант, а то всъщност води до решения, и то доста

С моето решение бих казал, че намерих най-малкият елемент, който изпълнява условието - 1023

[broniran_potnik]

Хубаво е да си обясниш решението на обикновен български. Това, че най-малкото число е 1023 е вярно, но не виждам да посочваш броя на тези числа

[Baronov]

[Garoll]

Не че е моя работа, обаче за 1 "прекрасна" задача се изписаха всякакви глупости от всевъзможни хора.
Има хора, които пускат задача, някой пише нещо по нея, след което никой не я поглежда и не си променя грешното условие - най-вече авторът?
Ето пример: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7483
Аре поне като някой си е направил труда да прочете и да помисли за нещо, авторът на темата и неговите преводачи да напишат или коригират нещичко в темата си вместо да се чудят какви глупости да пишат по форума

[r2d2]

[estoyanovvd]

Е не това вече е върхът. Как се разваля задача. Като и напишеш упътване????? Това, което написах беше упътване, просто, защото не ми се занимаваше да пиша пълно решение на задача за 5-ти клас за пореден път. След това упътване всеки ентусиаст можеше да си преброи числата с 10 единици по-малки от колкото там беше. Как точно съм ви развалил кефа. Като ви показах какво стои "зад" задачата ви ли? Или като не ви написах решение за идиоти?
Да не говорим колко хубава е задача, която се решава с прочитането...

Е, не!!! И това ако е задача за 5-ти клас здраве му кажи!!! Ако тези задачи се решаваха в пети клас, сега вече България трябваше да е изпратила пилотиран космически кораб на Марс!!!


Честно казано, на мен още не ми е ясно условието, макар, че го прочетох цели три пъти!!!
Може би съм много тъп!!! За което съжалявам!!!

[martosss]

Аз съм съгласен, че упътването на Баронов беше хубаво, но ми трябваше доста време + напътсвия от Станислав докато загрея как се доказва(наистина е лесно, знам ). Но аз наистина някой път не съумявам да си изразя мислите и за това искрено съжалявам

В случая се опитах просто използвайки даденото да стигна до някакъв отговор, но единственото, което успях да направя, беше да намеря най-малкото число М, всички числа не успях. Моят метод изпуска важна част - че може по някое време, примерно още в началото, да се умножи по 2

Предложението на Баронов наистина е добро, не знам защо всички реагираха така остро, вярно е, че нямаше доказателство, но то това е интересното - да ни заинтригува и да го потърсим. Просто съжалявам че не се опитах да го докажа по неговия начин, а се заинатих и тръгнах в друга посока

[broniran_potnik]

[Baronov]

Вярно е, че прекалих. Ама това е първото ми изтрито мнение. Шок някак си. Затова исках да напиша някви пълните глупости.
А иначе така се казва, 5-ти клас, класно в Ихтиман(да не ми се обидят сега хората от там).
Естествено, че не съм решавал такива задачи даже и в 8-ми клас, сигурно. А пък и едва ли в Ихтиман дават крайно лесни класни. Просто така се казва за задача, която си решил веднага (което пък не означава, че е лесна, а просто си знаел идеята).
Задачата е готина и още повече, че има и доста по трудни варианти, които ако се сетя ще пусна по някое време.

Това е май нещо, като извинение за втория пост. За първия (изтрития)... трябва да има hide .

Айде весели празници на всички и да пускате повече олимпиадни задачи през новата година, за да има и ние студентите в БГ пред кой да се правим на умни.

ПП. Ако има hide май всичките ми постове трябва да са hidden.

ПП.2. И айде човек от Пловдив на ИМО тази година. Моля ви се.

[r2d2]