k=? lg(x^2+kx)=lg(8x-6k-3) има единствен корен?

[martosss]

За кои стойности на параметъра [tex]k[/tex] уравнението

[tex]lg(x^2+[/tex][tex]\red 2kx[/tex][tex])=lg(8x-6k-3)[/tex]

има единствен корен?

П.П. Страшно се извинявам за объркването - от лявата страна трябва да е [tex]2kx[/tex](но и само с kx да го решите няма да се разсърдя, макар че стават доста сметки).

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]lg(x^2+2kx)=lg(8x-6k-3)[/tex].
За да имат смисъл изразите, стоящи под знака за логаритмуване, трябва да е изпълнено [tex]x^2+2kx>0; 8x-6k-3>0[/tex]. След антилогаритмуване свеждаме уравнението до:
[tex]x^2+2kx=8x-6k-3 \Leftrightarrow x^2+2kx-8x+6k+3=0 \Leftrightarrow \fbox{x^2+2(k-4)x+6k+3=0}[/tex].
Пресмятаме корените на това уравнение: [tex]x_{1,2}=\frac{-2(k-4)\pm \sqrt{4(k-4)^2-4(6k+3)}}{2}=\frac{-2(k-4)\pm 2\sqrt{(k-4)^2-6k-3}}{2}=\frac{-2(k-4)\pm 2\sqrt{k^2-14k+13}}{2}=4-k\pm \sqrt{(k-1)(k-13)}[/tex].
Но от условието е ясно, че [tex]8x-6k-3>0 \Rightarrow \fbox{8x>6k+3}[/tex]. Оттук определяме: [tex]8x_{1}>6k+3; 8x_{2}>6k+3[/tex].
Но ние вече имаме стойности за корените. Тогава ще са изпълнени [tex]8(4-k+\sqrt{(k-1)(k-13)})>6k+3[/tex] [tex](1)[/tex] или [tex]8(4-k-\sqrt{(k-1)(k-13)})>6k+3[/tex] [tex](2)[/tex].
Да решим [tex](1)[/tex]. [tex]8(4-k+\sqrt{(x-1)(x-13)})>6k+3 \Leftrightarrow 8\sqrt{(k-1)(k-13)}>14k-29[/tex]. След повдигане на двете страни на неравенството в квадрат получаваме [tex]64(k-1)(k-13)>196k^2-812k+841 \Leftrightarrow 132k^2+84k+9<0 \Leftrightarrow k\in [-\frac{1}{2}; -\frac{3}{22}][/tex]. Но и [tex]1[/tex] е решение, защото тогава дискриминантата става нула, тоест [tex]k\in [-\frac{1}{2}; -\frac{3}{22}]\cup \left{ 1 \right}[/tex].

[ганка симеонова]

Ето и моето решение. очевидно трябва [tex]x>\frac{6k+3}{8 } [/tex](*)
Тогава след антилогаритмуване получаваме уравнението
[tex]x^2+2(k-4)x+6k+3=0 [/tex]
За да има тогава лог. уравнение единствен корен ,трябва или:
1) квадратното да има два корена, като само единият отговаря на (*), т.е [tex]f(\frac{6k+3}{ 8})<0 [/tex], или
2) D=0 и двойният корен, да отговаря на условието (*)

Така ще избегнем всичките тези ужасни ирационални неравенства.

[martosss]

[ганка симеонова]

[tex]f(\frac{6k+3}{8 })=\frac{132k^2+84k+9}{64 } <0=>k\in (-\frac{1}{ 2}; -\frac{3}{ 22}) [/tex]
[tex]D=0=>k=1; k=13[/tex]
При [tex]k=1=>x=3>\frac{6.1+3}{ 8} =>k=1 [/tex] е решение
При [tex]k=13=>x=-9<\frac{6.13+3}{ 8} =>k=13 [/tex] не е решение
Окончателно [tex]k\in (-\frac{1}{ 2}; -\frac{3}{ 22}) \cup [/tex]{1}

[estoyanovvd]

[martosss]

[ганка симеонова]

[martosss]

Да, с това допълнение задачата придобива правилен вид

[estoyanovvd]

[ганка симеонова]

Бях изпуснала знаменателя ,но се поправих. иначе разсъждението ми е вярно

[estoyanovvd]