k=? 2^x+k*2^{2-x}=2k+2 има единствен корен?

[martosss]

За кои стойности на параметъра [tex]k[/tex] уравнението

[tex]2^x+k*2^{2-x}=2k+2[/tex]

има единствен корен?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]2^x+k.2^{2-x}=2k+2 \Leftrightarrow 2^x+\frac{k.2^2}{2^x}=2k+2; \\ 2^x=t \Rightarrow \\ \Rightarrow t+\frac{4k}{t}=2k+2 \Leftrightarrow t^2+4k=2kt+2t \Leftrightarrow t^2-2kt-2t+4k=0 \Leftrightarrow \fbox{t^2-2(k+1)t+4k=0}[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac{2(k+1)\pm \sqrt{4(k^2+2k+1)-4.4k}}{2}=\frac{2(k+1)\pm 2\sqrt{k^2+2k+1-4k}}{2}=k+1\pm (k-1): k+\cancel 1+k-\cancel 1=2k; \cancel k+1-\cancel k+1=2[/tex]
Ако [tex]2^x=2[/tex], то даденото уравнение има единствен реален корен [tex]x=1[/tex]. Ако [tex]2^x=2k[/tex], разглеждаме няколко случая:
* когато [tex]k\le 0[/tex], това уравнение няма решение, защото не се спазват дефинициите на показателната функция;
* когато [tex]k=1[/tex], то уравнението от полагането се свежда до [tex]2^x=2 \Leftrightarrow x=1[/tex], тоест при [tex]k=1[/tex] даденото показателно уравнение има единствен реален корен;
* когато [tex]k>0[/tex], обаче [tex]k\neq 1[/tex], то уравнението [tex]2^x=2k[/tex] ще има решение, различно от [tex]1[/tex], и в този случай ще се получат корени, удовлетворяващи уравнението на [tex]t_{1}[/tex] и [tex]t_{2}[/tex], което противоречи на първоначалното условие, даденото показателно уравнение да има единствен корен.
Така стигаме до извода, че даденото уравнение има само един корен при [tex]k\in (-\infty; 0]\cup \left{ 1 \right}[/tex].

[martosss]

Точно така