Система 3 уравнения 3 неизвестни x, y, z

[Spider Iovkov]

Решете системата [tex]\begin{array}{||}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{array}[/tex], където [tex]a,b[/tex] са дадени реални числа.

[Реклама]

[broniran_potnik]

Решенията на системата са корени на уравнението [tex]2t^3-2at+(a^2-b^2)t-2z^3=0[/tex]. Чудя се само как да изразя [tex]z[/tex] чрез [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]

[NoThanks]

Повдигаме 1вото на квадрат:
[tex]x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz = a^2[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2 = b^2[/tex]
[tex]xy=z^2[/tex]
[tex]b^2+2z^2+2xz+2yz=a^2[/tex]
[tex]2z^2+2z(x+y) +b^2-a^2=0[/tex]
[tex]2z^2+2z(a-z)+b^2-a^2=0[/tex]
[tex]2z^2+2az-2z^2+b^2-a^2=0[/tex]
[tex]2az=a^2-b^2[/tex]
[tex]z=\frac{a^2-b^2}{2a}[/tex]
Сега от 1вото и 3тото уравнение имаме сбора и прозведението на х,у. Стигаме до у-ето:
[tex]y^2 - (\frac{a^2+b^2}{2a})y + (\frac{a^2-b^2}{2a})^2 = 0[/tex]
На което имам доброто усещане, че дискриминантата му е точен квадрат.

[martosss]

[broniran_potnik]

[tex]2t^3-2at+(a^2-b^2)t-(\frac{a^2-b^2}{a})^3=0[/tex] . Използвал съм формули на Виет за полином от 3-та степен([tex]\sum_{cyc} x=a,\sum_{cyc} xy=\frac{a^2-b^2}{2},xyz=z^3=(\frac{a^2-b^2}{2a})^3[/tex])