Да се докаже ирационалното неравенство

[Кристиан Петков]

Докажете, че

[tex]\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} +\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 2\sqrt[3]{3}[/tex]

[Реклама]

[martosss]

[tex]\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} +\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 2\sqrt[3]{3}[/tex]

[tex]\N{\sqrt[3]3}(\sqrt[3]{\sqrt[3]9+1}+\sqrt[3]{\sqrt[3]9-1})<2\N{\sqrt[3]3}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{\sqrt[3]9+1}+\sqrt[3]{\sqrt[3]9-1}<2[/tex]

Сега последователно имаш [tex]\sqrt[3]{\sqrt[3]9+1}>\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}>\sqrt[3]{\sqrt[3]8}=\sqrt[3]2>1\\\sqrt[3]{\sqrt[3]9-1}>\sqrt[3]{\sqrt[3]8-1}=\sqrt[3]{2-1}=1[/tex]

събираш двете и получаваш противоречие

[Кристиан Петков]

разбирам какво имаш предвид с това решение, но множителя, който изнасяш пред скоби не трябва ли да е [tex]\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}[/tex]

[w00p00]

ще може ли някой да обясни по-подробно изнасянето пред скоби от решението на martosss?

[Кристиан Петков]

еми значи той представя 3 като [tex]\sqrt[3]{27}[/tex] и съответно може да изнесе [tex]\sqrt[3]{3}[/tex] пред скоби, но вътре под корена, и за да го изнесе това нещо и пред големия корен трябва да го напише [tex]\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}[/tex]

[dim]

[tex] \sqrt[3]{{3 + \sqrt[3]{3}}} = a \\ [/tex]
[tex] \sqrt[3]{{3 - \sqrt[3]{3}}} = b \\ [/tex]
[tex]a + b > 0,(a - b)^2 > 0 \Rightarrow a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) > ab(a + b) \\[/tex]
[tex] (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) < 4(a^3 + b^3 ) = 4.6 = 24 \Leftrightarrow a + b < 2\sqrt[3]{3} \\ [/tex]

[martosss]

Хех, значи не е било толкова лесно Браво, dim

[Кристиан Петков]

[martosss]

явно не си много наясно с неравенствата :]

[tex](a-b)^2>0\Right a^2+b^2-ab>ab\Right^{*a+b} (a+b)(a^2+b^2-ab)>ab(a+b)\Leftright^{*3} 3a^3+3b^3>3ab(a+b)\Leftright^{+a^3+b^3} 4(a^3+b^3)>(a+b)^3[/tex]

Получихме [tex](a+b)^3<4(a^3+b^3)=24\Right a+b<2\sqrt[3]3[/tex]

[dim]

[tex](a - b)^2 > 0\Leftrightarrow a^2+b^2-ab>ab[/tex](1), но [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)[/tex](2). От (1) и (2)=>[tex]a^3+b^3>ab(a+b)[/tex](3).Но [tex] (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)[/tex](4).От (3) и (4)=> [tex](a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)< 4(a^3 + b^3 ) = 4.6 = 24 \Leftrightarrow a + b < 2\sqrt[3]{3} \\ [/tex]

Сега кое не е ясно? Как от (1) и (2)=>..., или как от (3) и (4)=>...?

[Кристиан Петков]

да, сега всичко е О.К. мааллее направо красота! мерси много, dim, много ми помогна!!!!!!!