Пирамида

[Spider Iovkov]

В тетраедъра [tex]ABCD[/tex] стената [tex]BCD[/tex] е перпендикулярна на стената [tex]ABC[/tex], а ръбът [tex]AD[/tex] сключва с ръбовете [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] ъгли с големина [tex]60^\circ[/tex]. Ако дължините на ръбовете [tex]AB, BC, AC[/tex] са равни съответно на [tex]2,4,3[/tex], да се определят обемът на тетраедъра и ъгълът между стените [tex]ABC[/tex] и [tex]ABD[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

В момента нямам възможност да чертая с CarMetal, но ще ти дам насока, Емо.
Тук ще ползваме теоремата за трите косинуса. Тя гласи следното:
Нека имаме равнина делта, наклонена права а и права от равнината b. Нека с а1 означим орт. проекция на а в/у равнината. Тогава
[tex]cos\angle (a; b)=cos\angle (a; a_1).cos\angle (b; a_1) [/tex]
Едно следствие от тази теорема е, че ако една наклонена сключва равни ъгли с две пресекателни прави от дадена равнина, тя се проектира в/у ъглополовящата на ъгъла, определен от тези прави.
В твоя случай, върхът на пирамидата D ще се проектира в/у ъглополовящата на [tex]\angle CAB [/tex]
Нека с L означим тази ортогонална проекция. Тогава според теоремата:
[tex] cos\angle (AB; AD)= cos\angle (AD; AL) . cos\angle (AB; AL)=>cos\angle (AD; AL)=\frac{cos60^\circ }{cos\angle BAL } [/tex]
Вторият косинус ще го намериш лесно от основата. После намираш тангенса на [tex]\angle DAL [/tex] и от там височината, която ти трябва за обема.

[NoThanks]

Може и без 3те косинуса(аз поне никога не се сещам за тях, нито пък за тези другите косинусови/синусови теореми за 3стенен)
Това за ъглополовящата е известно и се доказва със спускане на височините от D в околните стени. После имаме еднакви 3ъгълници. След това имаме още 1 двойка еднакви 3ъгълници в основата(тези с ортогоналните проекции на височините от околните стени, включващи отсечките, които вече сме доказали че са равни). От тази еднаквост ни следва, че ортогоналната проекция на Д в основата е на равни разстояния от раменете на ъгъл А и от там лежи на ъглополовящата. С така спуснатите височини имаме правоъгълни 3ъгълници с ъгъл 30 и от там слагаме едната отсечка х, другата 2х. В основите остават 2-х. 3-х. Ъглополовящата на А и отсечките, на които дели BC се намират, знаейки всичките страни на АБЦ. От там просто с няколко Питагора изразяваме ДА и височината на пирамидата ДП чрез х, а АП - ъглопол го имаме като число. Още 1 питагор и намираме х. От там вече ясно.