линейно изображение

[ferry2]

Нека [tex]f[/tex] е изображение на [tex]\mathbb{R}^2[/tex] в [tex]\mathbb{R}^2[/tex], което на всеки вектор [tex](x,y)[/tex] съпоставя вектора [tex](3x+5y,4x-7y)[/tex].Да се докаже, че [tex]f[/tex] е линейно изображение и да се намери матрицата му в базата [tex]g=(\vec{g_1},\vec{g_2})[/tex], където [tex]\vec{g_1}=(2,-1),\vec{g_2}=(-1,1)[/tex].

[Реклама]

[nikko1]

Изображение е линейно (линеен оператор), ако:
- [tex]f(x+y)=f(x)+f(y)[/tex] за всеки [tex]x,\ y\in\mathbb{R}^2[/tex]
- [tex]f(cx)=cf(x)[/tex] всеки [tex]x\in\mathbb{R}^2,\ c\in\mathbb{R}.[/tex]
За това изображение имаме
[tex]f\left((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\right)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2)\right)=\left(3(x_1+x_2)+5(y_1+y_2),4(x_1+x_2)-7(y_1+y_2)\right)=[/tex]
[tex]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\left(3x_1+5y_1,4x_1-7y_1\right)+\left(3x_2+5y_2,4x_2-7y_2\right)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)\qquad[/tex] и
[tex]f\left(c(x,\ y)\right)=f\left((cx,cy)\right)=\left(3cx+5cy,4cx-7cy\right)=c\left(3x+5y,4x-7y\right)=cf(x,y)[/tex]
За да се намери матрицата A на изображението трябва да запишем действието в матричен вид [tex]f\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right)=A.\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right)[/tex] според определението за оператора от задачата имаме [tex]f\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3x+5y \\ 4x-7y \\ \end{array}\right)[/tex] и очевидно матрицата е [tex]A=\left(\begin{array}{rr}3 & 5 \\4 & -7 \\\end{array}\right).[/tex]
Сега се налага да смениш базиса, като матрицата на прехода ти е [tex]T=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\-1 & 1 \\\end{array}\right)[/tex] (координатите на векторите се пишат в стълб, тук не се вижда, защото матрицата в този случай се получава симетрична).
Използвай формулата за смяна на матрицата при смяна на базиса [tex]A^*=T^{-1}AT[/tex] и ще получиш матрицата на изображението в новия базис.

[ferry2]

Благодаря ти много, за доказателството дали е линейно изображението и аз бях подходил като теб ама някъде съм допуснал техническа грешка и не можех да си я открия!Сега го разбрах как става!