6 клас - Точка M е среда на АВ и точка N е среда на ВС.

[SilvEPrincE]

Даден е триъгълник АВС. Точка M е среда на АВ и точка N е среда на ВС. СМ пресича АN в точка Р. Да се намери каква част е лицето на PNC от лицето на АВС?

[Реклама]

[SilvEPrincE]

Моля ви да ми помогнете

[ганка симеонова]

Ползвай, че медианата разделя лицето на даден триъгълник, на два равнолицеви триъгълника.

[martosss]

използвай, че СМ и АN са медиани, тоест Р е медицентър, освен това М и N са среди на АВ и ВС, от тук можеш да изразиш лицата Ако все още не можеш спусни и третата медиана през В и Р и ще се получат 6 триъгълника(малки), чиито лица са равни помежду си, откъдето отговорът става 1/6 :]

[broniran_potnik]

[ганка симеонова]

Да, но това че медианата разделя триъгълника на два равнолицеви, се учи още в 5 клас

[martosss]

Да, ето как става
M и N са среди на AB и BC откъдето CM и BN са медиани откъдето [tex]S_{AMC}=S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\\S_{ABN}=S_{ACN}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex]
Получихме
[tex]S_{ABN}=S_{BMC}[/tex] сега отсечките РМ и PN "разделят" триъгълниците на две части, една от които е равна:
[tex]S_{AMP}\N {+S_{MBNP}}=S_{PNC}\N {+S_{MBNP}}[/tex]
[tex]S_{AMP}=S_{PNC}[/tex] (1)
Сега построяваме BP и от триъгълник ABP, в който РМ е медиана имаме
[tex]S_{AMP}=S_{MPB}[/tex] (2)
Освен това в триъгълник ВРС, в който PN е медиана, имаме
[tex]S_{PNC}=S_{PNB}[/tex] (3)

Сега от (1), (2) и (3) имаме [tex]S_{AMP}=S_{BMP}=S_{BPN}=S_{PNC}=x[/tex]
сега [tex]S_{ABN}=3x=\frac{1}{2}S_{ABC}\Right x=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]
Но [tex]S_{PNC}=x\Right S_{PNC}=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]

[ганка симеонова]

Първо ще докажем, че отсечка, която свързва връх на триъгълник със средата на срещуположната му страна, го разделя на два равнолицеви триъгълника ( всеки от тях е с лице, равно на половинката от лицето на дадения триъгълник). Очевидно тези триъгълници имат една и съща височина, спусната от върха и равни страни, които са половинки от страната на триъгълника. Следователно имат равни лица.
Това ще го ползваме в задачата
[tex]S_{APM}=S_{BPM}=x; S_{CPN}=S_{BPN}=y [/tex]
[tex]S_{ABN}=2x+y=0,5S_{ABC}=0,5S [/tex]
[tex]S_{CMB}=x+2y=0,5S_{ABC}=0,5S [/tex]
=>[tex]2x+y=x+2y=>x=y=>3y=0,5S=>y=\frac{1}{ 6} S [/tex]

[ганка симеонова]

Решението на Марто, е по- добро от моето, за 6 клас

[SilvEPrincE]

Благодаря ви много