Моля за помощ за задачи :(

[Marto]

Здравейте колеги Тъй като съм 1-ва година студент спец.Информатика,може ли да помоля за помощ с няколко задачи Не мога да ги схвана тия пусти задачи Благодаря предварително

1зад. z²+(6-2i)z+11-10i=0

2зад. [tex]\frac{-4+3i}{2-7i}[/tex]

[tex](-1-\sqrt{3i})[/tex]¹⁵

[tex]\sqrt[6] {\frac{-1-\sqrt{3i} }{4-4i}}[/tex]

п.п На 1-ва задача стигнах до някъде и до там

[Реклама]

[Marto]

Спешно ми е до края на седмицата плийс

[r2d2]

Ми ида на уроци бе пич!
И бирата е с пари!

[Marto]

[nikko1]

1 зад. Имаш квадратно уравнение с комплексни коефициенти.
Смяташ дискриминантата по съкратената формула [tex]{\cal D}=\left(3-i\right)^2-11+10i=9-6i+i^2-11+10i=-3+4i[/tex]. Интересуваме се от [tex]\sqrt{\cal D}[/tex], което е комплексно число, нека [tex]{\sqrt{-3+4i}}=a+bi[/tex], повдигаме на квадрат и имаме [tex]-3+4i=a^2+2abi+b^2i^2=(a^2-b^2)+i(2ab)[/tex] и понеже равенство между комплексни числа е възможно само тогава, когато са равни реалните, равни са и имагинерните им части, получаваме системата [tex]\begin{array}{|llr}a^2+b^2&=&-3\\ab&=&2\end{array}[/tex] и лесно се виждат решенията [tex]a=\pm 1[/tex], [tex]b=\pm 2[/tex] или получаваме за корен от дискриминанта [tex]1+2i[/tex] и [tex]-1-2i[/tex].
Тогава корените по съкратената формула са
[tex]z_{1,2}=i-3\pm(1+2i)[/tex], т.е. [tex]z_1=-2+3i,\ z_2=-4-i.[/tex]
2 зад. Рационализираш израза, умножавайки по комплексно спрегнатото на знаменателя или
[tex]\frac{-4+3i}{2-7i}=\frac{-4+3i}{2-7i}.\frac{2+7i}{2+7i}=\frac{-8+6i-28i+21i^2}{2^2-(7i)^2}=\frac{-29-22i}{53}.[/tex]
3 зад. Представяш комплексното число в тригонометричен вид, т.е.
[tex]-1-\sqrt{3}i=|z|\left(\cos \varphi+i\sin \varphi\right),[/tex]
[tex]|z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2,[/tex] а за ъгъла фи имаме
[tex]\cos \varphi=\frac{Re(z)}{|z|}=-\frac{1}{2},\ \sin \varphi=\frac{Im(z)}{|z|}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] или ъгълът е [tex]\varphi=\frac{4\pi}{3},[/tex] т.е. тригонометричният вид на числото е
[tex]-1-\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)[/tex]
Сега изпозваме формулата за степен на комплексно число в тригонометричен вид
[tex]|z|\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^n=|z|^n\left(\cos n\varphi+i\sin n\varphi\right)[/tex] и получаваме
[tex]\left(-1-\sqrt{3}i\right)^{15}=2^{15}\left(\cos(15.\frac{4\pi}{3})+i\sin(15.\frac{4\pi}{3})\right)=2^{15}\left(\cos(20\pi)+i\sin(20\pi)\right),[/tex] но [tex]20\pi=10.2\pi[/tex], т.е. е кратно на периода и [tex]\cos(20\pi)=\cos 0=1[/tex], [tex]\sin(20\pi)=\sin 0=0[/tex], заместваме и окончателно получаваме [tex]\left(-1-\sqrt{3}i\right)^{15}=2^{15}=32768.[/tex]
4 зад. Само указание. Вземи израза в радикала и рационализирай знаменателя, след това представи резултата в тригонометричен вид и използвай формулата за коренуване на комплексно число в тригонометричен вид
[tex]\sqrt[n]{|z|\left(\cos \varphi+i\sin \varphi\right)}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),[/tex] като се получават [tex]n[/tex] различни решения като параметъра [tex]k=0,\ 1,\ 2,\cdots,\ n-1.[/tex]

[Marto]

[gdimkov]

[nikko1]

Донякъде си прав, ама не съвсем. Нека да видим формално какво имаме
[tex]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{K}[/tex] (естествени числа<цели числа<рационални числа<реални числа<комплексни числ<кватерниони)
Сега понеже казвам "рационализиране на знаменателя", а той е изцяло комплексно число (има си имагинерна част, различна от нула) - доста извън множеството на рационалните числа, а в крайна сметка става рационално, така че и аз съм прав