Регистрирайте сеРегистрирайте се

Доказателство с Коши


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
qwerty1
Начинаещ


Регистриран на: 14 Dec 2008
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Sun Dec 14, 2008 4:20 pm    Заглавие: Доказателство с Коши

Здравейте, как се доказват тези граници:

1. [tex]\lim_{x\to-1}\frac{2x^2-x+2}{x^2-x-1}=-5[/tex]

и

2. [tex]\lim_{x\to-3}\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}=-\frac{1}{2}[/tex]

Първата изобщо не мога да изолирам x+1 в f(x)-epsilon, докато във втората изолирам x+3, но модулът на остатъка ми излиза безкрайна функция, която не мога да огранича отгоре, както пише в учебниците, че се процедира.

Моля дайте решение или идея как да процедирам изобщо по 1 и как да продължа по 2.

Благодаря!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Sun Dec 14, 2008 5:38 pm    Заглавие:

За първата можем да действаме така:

[tex]\frac{2x^2 - x + 2}{x^2 - x - 1} = \frac{x^2 - x - 1 + x^2 + 3}{x^2 - x - 1} = 1 + \frac{x^2 + 3}{x^2 - x - 1}[/tex]

Сега да допуснем, че - 5 e граница. Търсим такова [tex]\delta[/tex], че при [tex]\mid{x + 1}\mid<\delta[/tex] да следва:

[tex] \left \mid{1 + \frac{x^2 + 3}{x^2 - x - 1} - (-5)}\right\mid< \varepsilon[/tex] за всяко [tex]\varepsilon[/tex]

Неравенството [tex]\mid{x + 1}\mid<\delta[/tex] ни дава [tex]-\mid{x + 1}\mid> -\delta[/tex]

Като използваме неравенството [tex]\mid{a - b}\mid\ge \mid{a}\mid - \mid{b}\mid[/tex] , ще получим:

[tex]\mid{x^2 - (x+1)}\mid \ge \mid{x^2}\mid - \mid{(x+1)}\mid > \mid{x^2}\mid - \delta[/tex]

Това влече също:

[tex]\frac{1}{\mid{x^2 - (x+1)}\mid } < \frac{1}{x^2 - \delta}[/tex], а ако го умножим и с вечно положителното число [tex]x^2 + 3[/tex] , то става:

[tex] \frac{x^2 + 3}{\mid{x^2 - (x+1)}\mid } < \frac{x^2 + 3}{x^2 - \delta}[/tex]

Използайки неравенството на триъгълника, виждаме, че

[tex]\left \mid{\frac{x^2 + 3}{x^2 - (x+1)} + 6 }\right\mid \le \left \mid \frac{x^2 + 3}{x^2 - (x+1)} \right \mid + 6 < 6 + \frac{x^2 + 3}{x^2 - \delta}[/tex]

Сега, ако на произволното положително число [tex]\varepsilon[/tex] съпоставим числото [tex]\delta[/tex] , определено от уравнението [tex]\varepsilon = 6 + \frac{x^2 + 3}{x^2 - \delta}[/tex] виждаме, че условията на Коши са изпълнени и границата наистина е тази.

Хайде някой поправчик да ремонтира модулните скоби Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Sun Dec 14, 2008 7:30 pm    Заглавие:

Оттук можем да представим [tex]\varepsilon[/tex] само като функция на [tex]\delta [/tex], т.е. да покажем, че функцията е равномерно непрекъсната в точката -1. Ще считаме, че при произволно взето [tex]\varepsilon[/tex] сме взели [tex]\delta [/tex] - околността такава, че [tex]-1 + \delta < 0[/tex], при което и х ще е по-малко от нула.
От неравенствата

[tex]x < \delta -1[/tex]
[tex]x> -\delta - 1[/tex] получаваме:

[tex]x^2 > (\delta - 1)^2 = \delta ^2 - 2\delta +1[/tex]
[tex]x^2 - \delta >\delta ^2 - 3\delta +1[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2 - \delta} < \frac{1}{\delta ^2 - 3\delta +1}[/tex]


[tex]x^2<(-\delta -1)^2[/tex]
[tex]x^2 + 3 < \delta ^2 + 2\delta +4[/tex]
За да умножим неравенствата [tex]x^2 + 3 < \delta ^2 + 2\delta +4[/tex] и [tex]\frac{1}{x^2 - \delta} < \frac{1}{\delta ^2 - 3\delta +1}[/tex] обаче трябва още да свием [tex]\delta[/tex] - околността, така, че да е изпълнено [tex]\frac{1}{\delta ^2 - 3\delta +1}>0 [/tex]. Така, че трябва да имаме [tex]\delta < \frac{3 - \sqrt{5} }{2}[/tex] . Умножаваме неравенствата и получаваме:

[tex]\frac{x^2 + 3}{x^2 -\delta } < \frac{\delta ^2 + 2\delta +4}{\delta ^2 - 3\delta +1} [/tex]


[tex]6 + \frac{x^2 + 3}{x^2 -\delta } <\frac{7\delta ^2 - 16\delta +10}{\delta ^2 - 3\delta +1} [/tex]

Тогава ако на всяко [tex]\varepsilon[/tex] съпоставим [tex]\delta [/tex], определена от равенствата [tex]\varepsilon = \frac{7\delta ^2 - 16\delta +10}{\delta ^2 - 3\delta +1} [/tex] ще получим навярно каквото ни трябва-

Стига толкова от мен, че вече изпушвам. Някой да предложи по-красиво и елегантно доказателство.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
qwerty1
Начинаещ


Регистриран на: 14 Dec 2008
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Sun Dec 14, 2008 9:39 pm    Заглавие:

Не знам дали ще ми станат ясни тези решения, но благодаря за усилията.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Mon Dec 15, 2008 8:29 pm    Заглавие:

Relinquishmentor написа:
За първата можем да действаме така:

Търсим такова [tex]\delta[/tex], че при [tex]\mid{x + 1}\mid<\delta[/tex] да следва:
[tex] \left \mid{1 + \frac{x^2 + 3}{x^2 - x - 1} - (-5)}\right\mid< \varepsilon[/tex] за всяко [tex]\varepsilon[/tex]
:


Това си е за преглед при психиатър!

Я си се занимавай с физика, там и това може да мине!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Relinquishmentor
Фен на форума


Регистриран на: 06 Oct 2006
Мнения: 665

Репутация: 86.4Репутация: 86.4
гласове: 30

МнениеПуснато на: Tue Dec 16, 2008 6:15 pm    Заглавие:

Приемам забележката.
За всяко епсилон няма как да стане.
Получила се е безсмислица.
Аз не ги разбирам много тези задачи.
Ще напишеш ли решение ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Tue Dec 16, 2008 7:11 pm    Заглавие: Re: Доказателство с Коши

qwerty1 написа:
Здравейте, как се доказват тези граници:

1. [tex]\lim_{x\to-1}\frac{2x^2-x+2}{x^2-x-1}=-5[/tex]

Relinquishmentor написа:
Аз не ги разбирам много тези задачи.
Ще напишеш ли решение ?


Няма човек, който да може да докаже това нещо, защото границата е 5, а не -5!

Не бих написал решение, защото е безумно тази граница да се доказва така, след като има теорема за граница на частно на две непр. функции (когато знам. не клони към 0).

Но ако почна да пиша, първото изречение ще е: Нека е дадено епсилон > 0. Ще намерим делта (която зависи от това епс) така, че ....
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Dec 17, 2008 9:06 am    Заглавие:

не че нещо, ама защо просто не си заместим с дадената стойност Rolling Eyes При положение че знаменателят не става 0, то ... спокойно си излизат тези отговори.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.