Интеграл 1/(3cosx+sinx+5)

[shasheto]

Помогнете ми да реша следния интеграл
[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac {dx}{3 \cos x+\ sin x+5}[/tex]

Решавам чрез универсална субституция стигам до едно положение
и зациклям.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Първо ще намерим неопределения интеграл [tex]\int{\frac{1}{3 cos x + sin x +5}}dx[/tex] и после по формулата на Нютон – Лайбниц ще изчислим определения. За целта полагаме [tex]\tan{\frac{x}{2}}=t[/tex]. Тогава [tex]\frac{x}{2}=\arctan t \Leftrightarrow x=2 \arctan t[/tex]. Оттук [tex]dx=d(2 \arctan t)=\frac{2}{1+t^2}dt[/tex]. Сега се сещаме, че [tex]sin x = \frac{2 \tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2 {\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow sin x =\frac{2t}{1+t^2}[/tex] и [tex]cos x = \frac{1-\tan^2 {\frac{x}{2}}}{1+\tan^2 {\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex], и се връщаме в неопределения интеграл, който след кратки опростявания вече е добил вида [tex]\int{\frac{1}{t^2+t+4}}dt[/tex]. В знаменателя отделяме точен квадрат – [tex]t^2+t+4=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4} \Rightarrow \int{\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}}}dt[/tex]. Сега се стремим да получим интеграл от таблицата: [tex]\int{\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}}}dt=\int{\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}}}d(t+\frac{1}{2})=\int{\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+(\sqrt{\frac{15}{4}})^2}}d(t+\frac{1}{2})[/tex]. Стигнахме до интеграл от вида [tex]\int{\frac{1}{v^2+a^2}}dv[/tex], който има първообразна [tex]\frac{1}{a} \arctan {\frac{v}{a}}+C[/tex]. Тогава получаваме [tex]\int{\frac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+(\sqrt{\frac{15}{4}})^2}}d(t+\frac{1}{2})=\frac{2}{\sqrt{15}} \arctan {\frac{2t+1}{\sqrt{15}}}+C = \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan {\frac{2 \tan {\frac{x}{2}} +1}{\sqrt{15}}}+C[/tex] – или [tex]\int{\frac{1}{3 cos x + sin x +5}}dx=\frac{2}{\sqrt{15}} \arctan {\frac{2 \tan {\frac{x}{2}} +1}{\sqrt{15}}}+C[/tex]. Сега вече от формулата на Нютон – Лайбниц за определен интеграл – [tex]\int^{b}_{a}{f}=F(b)-F(a)[/tex], се смята стойността на интеграла.