метод на лагранж

[viki_di]

Трябва да се приложи метода на Лагранж ...

y'' - y' = [tex]\frac{2e^{x}}{e^{x}-1} [/tex]

[tex]y^{2}-y=0[/tex]
λ[tex]^{2}[/tex]-λ = 0
λ[tex]=\pm1 [/tex]

y₁=[tex]e^{x}[/tex]
y₂=[tex]e^{-x}[/tex]


y = C₁[tex]e^{x}[/tex] + C₂[tex]e^{-x}[/tex]

и нататък незнам как да продължа .. знам че трябва да направя система от y един път така както е и един път с производната да е равна на това което е равно в началото , но незнам дали досега е така .. ако може някой да помогне ..

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Разсъждаваш правилно, но си объркала корените на характеристичния полином. Когато имаме нехомогенно уравнение, то първо намираме общото решение на хомогенното - което е лесно и след това по метода на Лагранж търсим едно частно решение. Общото решение на нехомогенното уравнение е сума от двете.

Да решим най-напред хомогенното. Имаме:

[tex]y'' - y' = 0[/tex] Полагаме [tex]y = e^{\lambda x}[/tex] . Заместваме и намираме ламбда

[tex](\lambda ^2 - \lambda )e^{\lambda x} = 0 [/tex]

Оттук:

[tex]\lambda (\lambda -1) = 0[/tex] или [tex]\lambda _1 = 0, \lambda _2 = 1[/tex]

Получаваме две линейно независими решения [tex]y_1 = 1 , y_2 = e^{x}[/tex] . Общото решение е всяка възможна линейна комбинация на базисното решение:

[tex]y = \operatorname{lin}{1 \choose e^{x}} = c_1 + c_2e^{x}[/tex]

Съгласно метода на Лагранж частното решение търсим във вида:

[tex]\gamma = c_1(x) + c_2(x)e^{x} [/tex], където функциите [tex]c_1 & c_2[/tex] се определят от системата:

[tex]c_1' (x)1 + c_2'(x) e^{x} = 0[/tex]
[tex]c_1'(x) 1' + c_2' (e^{x})' = \frac{2e^x}{e^x - 1}[/tex]


Оттук [tex]c_2'(x) = \frac{2}{e^x - 1}, c_2(x) = 2\int_{}^{ } \frac{dx}{e^x - 1} [/tex]

[tex]c_1(x) = - 2\int_{}^{ } \frac{dx}{e^x - 1} [/tex]

Следователно частното решение е [tex]\gamma = - 2\int_{}^{ } \frac{ dx}{e^x - 1} + e^x 2\int_{}^{ } \frac{dx}{e^x - 1}[/tex] , решението на уравнението е [tex]y = c_1 + c_2e^{x} + \gamma [/tex]

Значи за теб остава само да решиш интегралите