Неопределеност от вида 0^0и граница

[nightmare]

Ето още една задача която доста ме затруднява

[tex]\lim_{x->0}\frac{e^{-x}*sinx-x}{3x^2-x^5 } [/tex]

Извинявам се за х->0 но незнам как да го напиша отдолу под lim.Нямам и отговора на тази задача за съжаление

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Имаме: [tex]\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{3x^2 - x^5} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{(3 - x^3)x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{x^2} [/tex]

Последнана граница навярно би могла да се намери с някои тригонометрични неравенста,
но аз ще го направя по един друг начин. Като положим x = 2y, получаваме:

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{x^2} = \lim_{y\to 0} \frac{e^{-2y}sin 2y - 2y}{4y^2} = \lim_{y\to 0} \frac{{2(e^{-y}})^2 sin y cos y - 2ye^{-y}cos y + 2ye^{-y}cos y - 2y}{ 4y^2} = [/tex]
[tex]= \frac{1}{4}\lim_{y\to 0} \frac{2e^{-y}cos y(e^{-y}sin y - y) +2ye^{-y}cos y - 2y }{ y^2} = [/tex]
[tex] = \frac{1}{4} \lim_{y\to 0}2e^{-y}cos y \lim_{y\to 0}\frac{(e^{-y}sin y - y)}{y^2} + \frac{1}{4} \lim_{y\to 0} \frac{2ye^{-y}cos y - 2y }{y^2} = \frac{1}{2}\lim_{y\to 0}\frac{(e^{-y}sin y - y)}{y^2} + \frac{1}{2} \lim_{y\to 0} \frac{e^{-y}cos y - 1 }{y} [/tex]

Сега да намерим границата [tex]\lim_{y\to 0} \frac{e^{-y}cos y - 1 }{y}[/tex] . Имаме:

[tex]\lim_{y\to 0} \frac{e^{-y}cos y - 1 }{y} = \lim_{y\to 0} \frac{e^{-y}cos y - e^{-y} + e^{-y} - 1 }{y} = \lim_{y\to 0} \frac{-e^{-y}(1 - cos y) + e^{-y} - 1 }{y} = [/tex]
[tex]= -\lim_{y\to 0}e^{-y} \lim_{y\to 0}\frac{sin{\frac{y}{2}}}{\frac{y}{2}}\lim_{y\to 0}sin {\frac{y}{2}} + \lim_{y\to 0}\frac{e^{-y} - 1}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{e^{-y} - 1}{y} [/tex]

Най-накрая ни остана границата [tex]\lim_{y\to 0}\frac{e^{-y} - 1}{y}[/tex], която с полагането y = -t лесно се свежда до основна граница:

[tex]\lim_{y\to 0}\frac{e^{-y} - 1}{y} = -\lim_{t\to 0}\frac{e^{t} - 1}{t} = -1[/tex]

Така получаваме :

[tex] \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{x^2} -\frac{1}{2} [/tex] , откъдето
[tex]\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x} sin x - x}{x^2} = -1[/tex] , а първоначалната граница е [tex]-\frac{1}{3}[/tex]

[Relinquishmentor]

Разбира се, задачата може да се реши много по-лесно, ако знаем неравенството [tex]0< 1 - \frac{sin x}{x} < \frac{x^2}{2}[/tex] валидно при [tex]x \ne 0[/tex]. Умножавайки го по -1 ще получим:

[tex]0>\frac{sin x -x}{x}>\frac{-x^2}{2}[/tex]

Сега да доведем дадената функция до удобен за прилагането на неравенството вид. Имаме:

[tex]\lim_{x\to 0}\,\frac{e^{-x} sin x - x}{x} = \frac{e^{-x} sin x - x e^{-x} + x e^{-x} - x}{x^2} = \lim_{x\to 0} e^{-x} \lim_{x\to 0} \frac{sin x - x}{x^2} + \lim_{x\to 0}\frac{e^{-x} - 1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{sin x - x}{x^2} - 1[/tex]

Сега да оставим x да клони отдясно на нулата. Получаваме:

[tex]0>\frac{sin x -x}{x^2}>\frac{-x}{2}[/tex] , откъдето [tex]\lim_{{x\to 0}_,{x>0}} \frac{sin x - x}{x^2} = 0 [/tex]

Нека сега х да клони отляво на нулата :

[tex]0<\frac{sin x -x}{x^2}<\frac{-x}{2}[/tex] и следователно [tex]\lim_{{x\to 0}_,{x<0}} \frac{sin x - x}{x^2} = 0[/tex]

Получихме, че лявата и дясната граници съвпадат, значи самата функция има граница 0, а първоначално дадената - [tex]-\frac{1}{3}[/tex]

[nightmare]

Благодаря за помощта много

[nightmare]

Ето още една задача от този вид: [tex]\lim_{x->0} (1+4x)^{nx}[/tex]




Много ще съм благодарен ако помогнете за курсовата работа

[Relinquishmentor]

Имаме: [tex]\lim_{x\to 0} (1+4x)^{\ln x} = \lim_{x\to 0} \exp (\ln x \ln (1+ 4x)) =[/tex]
[tex]\exp \,\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + 4x)}{4x} \lim_{x\to 0} 4x \ln x = \exp 4 \lim_{x\to 0} \ln x^x = \exp 4 \ln \lim_{x\to 0} x^x [/tex]

С полагането [tex]y = \frac{1}{x}[/tex] границата [tex]\lim_{x\to 0} x^x[/tex] се свежда до [tex]\lim_{y\to\infty } \frac{1}{\sqrt[y]{y}} [/tex] , за която е добре известно, че е 1.
Тогава [tex]\lim_{x\to 0} (1+4x)^{\ln x} = e^{4\ln 1} = 1 [/tex]

[Relinquishmentor]

Първият начин за намиране на първата граница обаче не върви. Ние можем да намерим някакво уравнение, в което границата участва, но не знаем дали функцията е ограничена в околност на точкта на сгъстяване. Границата спокойно може да си бъде и безкрайност, а няма как да установим противното без да намерим самата граница.