Да се опрости израза

[drago_prd]

Здравейте!
В училище ми попадна една интересна задача:

Да се опрости израза
[tex]M = \left(\log_b^4{a}+\log_a^4{b}+2\right)^{\frac{1}{2}}-\log_b{a}-\log_a{b}[/tex]

Започваме да го опростяваме.

[tex]M = \left(\log_b^4{a}+\log_a^4{b}+2\log_b^{2}{a}.\log_a^{2}{b}\right)^{\frac{1}{2}}-\log_b{a}-\log_a{b}[/tex]
[tex]M = \left(\log_b^2{a}+\log_a^2{b}\right)^{\cancel{2}.{\frac{1}{\cancel{2}}}}-\log_b{a}-\log_a{b}[/tex]
[tex]M = \log_b^2{a}+\log_a^2{b}-\log_b{a}-\log_a{b}[/tex]

Стигам до тук!
Искам да попитам как мога да продължа?

[Реклама]

[NoThanks]

Сменяш основата, групираш. Повече от това май няма какво да се опростява

[Spider Iovkov]

[tex]log_{b}^2a+log_{a}^2b-log_{b}a-log_{a}b=\\=\frac{1}{log_{a}^2b}+log_{a}^2b-\frac{1}{log_{a}b}-log_{a}b=\\=\frac{1+log_{a}^4b-log_{a}b-log_{a}^3b}{log_{a}^2b}=\\=\frac{(1-log_{a}b)-log_{a}^3b(1-log_{a}b)}{log_{a}^2b}=\\=\frac{(1-log_{a}b)(1-log_{a}^3b)}{log_{a}^2b}[/tex]