Задачи с корени - да се опростят изразите

[rosen92]

Решавам задачи от един сборник защото в училище разглеждаме лесни задачи, типични бих казал и като се замисля помощ намирам тук.По икономически причини нямам възможност да ходя на частни уроци.Извинявам се ако задачите са елементарни и ви занимавам с тях.
Да се опростят изразите.
1.задача [tex]\sqrt[3]{7+5\sqrt{2} }[/tex]
2.задача [tex]\sqrt[3]{38+17\sqrt{5} } - \sqrt[3]{38-17\sqrt{5} } [/tex]

[Реклама]

[ins-]

1) [tex]7+5\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{3}[/tex]
2) Положи целия израз да е равен на x. Повдигни на трета степен - полученото уравнение има цял корен. Това е стойността на израза.

[scouseit]

a)Как разбра,че 7+5[tex]\sqrt{2} [/tex]=(1+[tex]\sqrt{2} [/tex])^{3}
b)И кой е тоя целия израз дето да го полага

[broniran_potnik]

За първата задача полагаш [tex]\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=a[/tex] , тогава [tex]\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}=-\frac{1}{a}[/tex].Не мисля, че вече ще имаш проблем

[rosen92]

Благодаря, но не разбрах на първа как се получи този отговор, чрез разлагане ли.

[rosen92]

А на втора задача така с Х не става, това полагане го знам ,но не излиза.Сега ще пробвам с а и [tex]\frac{1}{a }[/tex] Благодаря Ви

[ins-]

И за a) и b) това са стандартни трикове. Виждал съм ги в сборника с А), Б) и В) групи дето има. Мисля, че фамилията на един от авторите беше Коларов.

[broniran_potnik]

[r2d2]

Нека [tex]u=\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}[/tex], a [tex]v=\sqrt[3]{38-17\sqrt{5} }[/tex]

Имаме тъждествата:

[tex]u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v) \;\;(1)[/tex] и

[tex]u^3-v^3=(u-v)^3+3uv(u-v) \;\;(2)[/tex]. Ако приложим (2) получаваме

[tex]34\sqrt{5}=x^3-3x\;(x=u-v)[/tex], което има единствен корен и той не е трудно да се открие, поне така си мисля. Но да речем, че не успяваме!

Прилагаме (1)
[tex]76=t^3+3t \; t=u+v[/tex]. Тук вече лесно се вижда, че t=4!

Сега имаме системата: [tex]u+v=4;uv=-1,[/tex] която не е проблем!