3 Описани окръжности

[damsel_in_distress]

В окръжност с център О и радиус R е вписан остроъгълен триъглник АВС.Нека М и N са петите на височините съответно от върховете А и С,а P и Q-центровете на описаните около AMN и BMN окръжности.Докажете,че PQ=R и докажете,че ако AB=R√2,то АО и PQ са перпендикулярни.

[Реклама]

[Mastinka90]

Нека к(P;r1),k1(Q;r2),[tex]\angle [/tex]ABC=[tex]\beta [/tex]
[tex]\angle [/tex]ANC=[tex]\angle [/tex]AMC=90
P-среда на AC,r1=AC/2
т-к MNB подобен на т-к АСВ(от окръжността и височините се доказва-основна задача е)
=> r2:R=cos [tex]\beta [/tex] и [tex]\angle [/tex]CAB=[tex]\angle [/tex]NMB=[tex]\alpha [/tex]

АВС-описан около окръжност=>от синусова теорема имаме
АС/sin[tex]\beta [/tex]=2R => AC=sin[tex]\beta [/tex].2R
r1=AC/2=sin[tex]\beta [/tex].R

[tex]\angle [/tex]NQB =2[tex]\angle [/tex]NMB(вписан и централен ъгъл в една и съща окръжност к1)
[tex]\angle [/tex]NQB =2 [tex]\alpha [/tex] ,NQ=QB=r2

[tex]\angle [/tex]QNB=90-[tex]\alpha [/tex]
AP=PN=r1, [tex]\angle[/tex]PAN=[tex]\angle [/tex]ANP=[tex]\alpha [/tex] => [tex]\angle [/tex]PNQ=90

в т-кPNQ:r1²+r2²=PQ²
PQ²=R².cos² [tex]\beta [/tex]+R
².sin²=[tex]\beta [/tex]
PQ²=R² =>PQ=R



ПП:имах доброто желание да си кача чертеж,защото направих,а ми изписва,че не можело да качвам формат ZIR,пък не може и да се оправи

[damsel_in_distress]

нямаше да се сетя..Благодаря