Собствени стойности и вектори - много труден

[milena atanasova]

Здравейте!
Имам проблем с изчисляването на собствени стойности и вектори за следнатата 3x3 матрица:

a^2+b^2 0 2ab
0 4 0
2ab 0 a^2+b^2


където a и b са реални числа.
Много съм благодарна за помощта!

[Реклама]

[nikko1]

Ето решението. Намираме първо характеристичният полином
[tex]\det(A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}a^2+b^2-\lambda&0&2ab\\0&4-\lambda&0\\2ab&0&a^2+b^2-\lambda\\\end{array}\right|=(4-\lambda)\left|\begin{array}{cc}a^2+b^2-\lambda&2ab\\2ab&a^2+b^2-\lambda\\\end{array}\right|=(4-\lambda)\left[(a^2+b^2-\lambda)^2-(2ab)^2\right]=[/tex]

[tex]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=(4-\lambda)\left[(a^2+b^2-\lambda-2ab)(a^2+b^2-\lambda+2ab)\right]=(4-\lambda)\left[(a-b)^2-\lambda\right]\left[(a+b)^2-\lambda\right]=0[/tex] и намираме собствените стойности
[tex]\lambda_1=4,\ \lambda_2=(a-b)^2,\ \lambda_3=(a+b)^2.[/tex] За всяка от тях трябва да се намерят собствени вектори. Първо разглеждам ектремните случаи:
I. [tex]a=b=0[/tex], тогава собствените стойности са 4, 0, 0 и трябва да намерим собствените вектори
- [tex]\lambda_1=4[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}-4&0&0\\0&0&0\\0&0&-4\\\end{array}\right)[/tex] и решението и е пърия собствен вектор [tex]g_1=(0,1,0).[/tex]
- [tex]\lambda_2=\lambda_3=0[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&4&0\\0&0&0\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система от решениета и ни дават втория и третия собтвен вектор [tex]g_2=(1,0,0), g_3=(0,0,1).[/tex]
II. [tex]a\neq 0, b=0[/tex] ([tex]a=0, b\neq 0[/tex] е абсолютно аналогично) имаме съотвено собствени стойности [tex]\lambda_1=4, \lambda_2=\lambda_3=a^2[/tex] и трябва да намерим собствените вектори
- [tex]\lambda_1=4[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}a^2-4&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2-4\\\end{array}\right)[/tex] и решението и е пърия собствен вектор [tex]g_1=(0,1,0).[/tex]
- [tex]\lambda_2=\lambda_3=a^2[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&4-a^2&0\\0&0&0\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система решения дава собствените вектори [tex]g_2=(1,0,0), g_3=(0,0,1)[/tex] (случаят [tex]a=\pm2, b=0[/tex] се обхваща в следващият случай).
III. [tex]a=2, b=0[/tex] (аналогично [tex]a=0, b=2[/tex]), тогава собствените стойности са 4, 4, 4 и трябва да намерим собствените вектори които са фундаменталната система от решения на хомогенната система с матрица
[tex]\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}\right)[/tex] (не е грешна точно нулева матрица се получава) и собствените вектори са [tex]g_1=(1,0,0), g_2=(0,1,0), g_3=(0,0,1)[/tex]
IV. [tex]a+b=\pm2[/tex], тогава собствените стойности са 4, 4 и [tex](a-b)^2\neq (a+b)^2[/tex] и трябва да намерим собствените вектори
- [tex]\lambda_1=\lambda_2=4[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}-2ab&0&2ab\\0&0&0\\2ab&0&-2ab\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система от решения са първия и втори собствен вектор [tex]g_1=(1,0,1), g_2=(0,1,0).[/tex]
- [tex]\lambda_3=(a-b)^2[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}2ab&0&2ab\\0&4-(a-b)^2&0\\2ab&0&2ab\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система от решениета и ни дават втория и третия собствен вектор [tex]g_3=(1,0,-1).[/tex]
V. [tex]a-b=\pm2[/tex], тогава собствените стойности са 4, 4 и [tex](a+b)^2\neq (a-b)^2[/tex] и трябва да намерим собствените вектори
- [tex]\lambda_1=\lambda_2=4[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}2ab&0&2ab\\0&0&0\\2ab&0&2ab\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система от решения са първия и втори собствен вектор [tex]g_1=(1,0,-1), g_2=(0,1,0).[/tex]
- [tex]\lambda_3=(a+b)^2[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}-2ab&0&2ab\\0&4-(a+b)^2&0\\2ab&0&-2ab\\\end{array}\right)[/tex] и фундаменталната система от решениета и ни дават втория и третия собтвен вектор [tex]g_3=(1,0,1).[/tex]
VI. Имаме три различни собствени стойности [tex]\lambda_1=4,\lambda_2=(a-b)^2,\lambda_3=(a+b)^2[/tex]
- [tex]\lambda_1=4[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}a^2+b^2-4&0&2ab\\0&0&0\\2ab&0&a^2+b^2-4\\\end{array}\right)\sim[/tex] събираме трети ред към първи[tex]\sim\left(\begin{array}{ccc}(a+b)^2-4&0&(a+b)^2-4\\0&0&0\\2ab&0&(a+b)^2-4\\\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&0&0\\2ab&0&(a+b)^2-4\\\end{array}\right)[/tex] първи ред * [tex]-2ab[/tex] към трети [tex]\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&0&0\\0&0&a^2+b^2-4\\\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right)[/tex] и решението е векторът [tex]g_1=(0,1,0)[/tex]
- [tex]\lambda_1=(a-b)^2[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}2ab&0&2ab\\0&4-(a-b)^2&0\\2ab&0&2ab\\\end{array}\right)\sim[/tex] и решението [tex]g_2=(1,0,-1)[/tex]
- [tex]\lambda_1=(a+b)^2[/tex] и достигаме до хомогенна система с матрица [tex]\left(\begin{array}{ccc}-2ab&0&2ab\\0&4-(a+b)^2&0\\2ab&0&-2ab\\\end{array}\right)\sim[/tex] и решението [tex]g_3=(1,0,1)[/tex]

P.S. Предполагам, че могат някои от случаите да се обединят, но нямам време за това
P.P.S. Ако съм ви помогнал можете да гласувате с + за мен (под никнейма ми)

[milena atanasova]

Нико, благодаря ти много!!!