Няколко задачки

[crazymonster]

Някой ще може ли да реши тези три задачи, защото никак не вярвам на моите решения:
1. Всички стени на паралелепипед са еднакви ромбове. Ако страната му е 10 см, а острият му ъгъл е 60 градуса, то лицето на повърхнината му е?

2. Основният ръб на правилна шестоъгълна призма е "а". Малкият диагонал на призмата сключва с основата й ъгъл 60 градуса. Лицето на околната повърхнина на призмата е?

3. Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб равен на 4 корен квадратен от 2 сантиметра и апотема равна корен квадратен от 17 см. На колко е равен радиуса на вписаната окръжност в триъгълника, определен от два срещуположни околни ръба на пирамидата?


Много ви благодаря!

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1. Нека даденият паралелепипед е [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]. След като всичките му стени са ромбове, то очевидно той е наклонен. Лицето на повърхнината му ще е [tex]S_{1}=S_{ok}+2B[/tex], където [tex]B[/tex] е лицето на основата. Формулката придобива вида [tex]S_{1}=4S_{ABB_{1}A_{1}}+2S_{ABCD}[/tex]. Но [tex]ABB_{1}A_{1}[/tex] е еднакъв с [tex]ABCD[/tex] (по условие) [tex]\Rightarrow S_{1}=6S_{ABCD}[/tex].
Да прекараме диагонала [tex]BD[/tex] в ромба [tex]ABCD[/tex]. Тъй като [tex]\triangle BAD[/tex] е еднакъв с [tex]BCD[/tex] (І признак), то [tex]S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}[/tex]. [tex]S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=2S_{\triangle ABD}[/tex], тоест [tex]S_{1}=6S_{ABCD}=6.2S_{\triangle ABD}=12S_{\triangle ABD}[/tex].
[tex]S_{\triangle ABD}=\frac{AB.AD.sin60^\circ}{2}=\frac{10.10.\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=25\sqrt{3}[/tex].
[tex]\Rightarrow S_{1}=12.25\sqrt{3}=300\sqrt{3}[/tex].

Задача 2. Понеже основата на призмата е правилен шестоъгълник, то неговите вътрешни ъгли ще са равни на [tex]120^\circ[/tex]. Нека дадената призма е [tex]ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}[/tex]. Тогава за нея ще е изпълнено [tex]AB=BC=CD=DE=EF=AF=a, \angle ABC=\angle BCD=\angle CDE=\angle DEF=\angle EFA=\angle FAB=120^\circ[/tex]. Малкият диагонал на призмата ще е [tex]AC_{1}[/tex]. Ъгълът между диагонала и равнината на основата ще е ъгълът между диагонала и неговата ортогонална проекция върху основата, тоест [tex]AC[/tex]. [tex]\angle C_{1}AC=60^\circ[/tex]. От [tex]\triangle ABC[/tex] чрез синусовата теорема определяме [tex]AC=a\sqrt{3}[/tex]. От [tex]\triangle ACC_{1}[/tex] имаме [tex]CC_{1}=AC tg60^\circ=a\sqrt{3}\sqrt{3} \Leftrightarrow CC_{1}=3a[/tex].
От друга страна, знаем, че околните стени на правилната шестоъгълна призма са еднакви правоъгълници. По тази логика [tex]S_{ok}=6S_{BCC_{1}B_{1}}=6.3a.a \Leftrightarrow S_{ok}=18a^2[/tex].

Задача 3. Нека дадената пирамида да е [tex]ABCDM[/tex]. След като е правилна, то нейната основа [tex]ABCD[/tex] ще е квадрат, а нейните околни ръбове ще са равни, тоест [tex]AB=BC=CD=AD=4\sqrt{2}, AM=BM=CM=DM[/tex]. Нека също така апотемата да е [tex]MH, H\in AB[/tex]. Понеже [tex]AM=BM[/tex], то [tex]AH=BH=\frac{AB}{2}=2\sqrt{2}[/tex]. Но понеже [tex]MH\bot AB[/tex], то ще е изпълнено [tex]AH^2+MH^2=AM^2[/tex], откъдето определяме [tex]AM=5[/tex].
Но тъй като [tex]ABCD[/tex] е квадрат, то [tex]AB^2+BC^2=AC^2 \Leftrightarrow AC=8[/tex].
Търсим радиуса [tex]r[/tex] на окръжността, вписана в [tex]\triangle ACM[/tex]. Да прекараме височината [tex]MP, P\in AC[/tex].
[tex]S_{\triangle ACM}=\frac{AC.MP}{2}[/tex] [tex](1)[/tex]
[tex]S_{\triangle ACM}=pr[/tex] [tex](2)[/tex]
От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{AC.MP}{2}=pr[/tex], откъдето [tex]r=\frac{AC.MP}{2p} \Leftrightarrow r=\frac{4}{3}[/tex].

[crazymonster]

Лелелелелле...2 и 3 са мноооого елементарни


Мерси много!