Определен интеграл

[еличка89]

[tex] \int_{0 }^{ \frac{\pi }{2 } } ln(1+tgx)dx[/tex]

[Реклама]

[еличка89]

само ако може подробно с обяснение моля защото знам отг но не и как да го получа

[r2d2]

Този интеграл е разходящ. Предполагам, че горната граница е пи/4. Тогава се прави така:

[tex]\ln(1 +\tan x) = \ln (\frac {\cos x + \sin x}{\cos x})=\ln (\cos x + \sin x) - \ln (\cos x)= \ln (\sqrt {2} \cos (\frac {\pi}{4} -x)) - \ln (\cos x) = \ln \sqrt{2} + \ln (\cos (\frac {\pi}{4} -x)) - \ln (\cos x) [/tex].

Сега интегралът е сума от тези три интеграла.

Първият (интегрираш число) е равен на [tex]\frac {\pi}{4} \ln \sqrt{2}=\frac {\pi}{8}\ln 2[/tex].

Лесно се доказва (смяна на променливите), че вторият е равен на третия или те просто се унищожават.

[Relinquishmentor]

Не бъркайте условията на задачите

[еличка89]

мерси

[еличка89]

не разбирам как се получи [tex] ln(\sqrt{2} cos(\frac{\pi }{4 } -x)) [/tex] и [tex] \frac{\pi }{ 4} ln\sqrt{2} [/tex] в [tex] \frac{\pi }{8 } ln2[/tex] моля обяснете ми