Граница*

[Relinquishmentor]

Намерете границата [tex]\lim_{x\to\infty} x\left( e - \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x\right) [/tex] .

[Реклама]

[r2d2]

Положи [tex]u=\frac{1}{x}[/tex].

[Relinquishmentor]

Аз вече я реших, да се пробват другите .
Границата може да се намери със сравнително елементарни средства, невключващи теореми на Лопитал и развития в редове.

[r2d2]

Добре е да покажеш!

[Relinquishmentor]

Добре, но ще реша само първата част.

С полагането [tex]x = \frac{1}{y}[/tex] границата се преобразува така:

[tex]\lim_{y\to\0} \frac{e - (1+y)^{\frac{1}{y}}}{y} = \lim_{y\to\0} \frac{e - e^{\frac{\ln(1+y)}{y}}}{y} = \lim_{y\to\0} \frac{e - e^{\frac{\ln(1+y)}{y} - 1 + 1}}{y} = \lim_{y\to\0} \frac{e - e.e^{\frac{\ln(1+y)}{y} - 1}}{y}=[/tex]

[tex]= -e\lim_{y\to\0}\frac{e^{\frac{\ln(1+y)}{y} - 1} - 1}{\frac{\ln(1+y) }{y} -1}\lim_{y\to\0} \frac{\frac{\ln(1+y)}{y} - 1}{y} = -e \lim_{y\to\0} \frac{\ln(1+y) - y}{y^2} [/tex]

Сега остана да решим границата [tex]\lim_{y\to\0} \frac{\ln(1+y) - y}{y^2}[/tex] , която също не е съвсем тривиална, макар, че лесно се разрешава, ако се възползваме от мощните оръжия на анализа. Тя обаче може да се намери и елементарно и нека някой се опита да го направи .