Параметрично логаритмично уравнение.

[tsuki114]

Намерете стойностите на реалния параметър а, за които уравнението lg(2x^2 -4(a-2)x +8+2a)=lg(x^2-2ax+a) има единствен корен. Помогнете моля Ви!

[Реклама]

[r2d2]

Ще ти помогна ако първо решиш по-простата задача.
За кои а уравнението: [tex]2lg(x+3)=lg (ax)[/tex] има единствено решение?

[tsuki114]

Много са ми трудни тези с параметър. Първо трябва да определим допустимите стойности та логаритмите. Въпроса е след като напишем двете неравенства,които ще дойдат от логаритмите, техните дикриминанти какви трябва да бъдат?Разбирате ли какво питам. Нали логаритмите трябва да са положителни, но дискриминантите им на двете неревенства какви трябва да бъдат?

А за тази втората задача, сега ще я пробвам...

[tsuki114]

ДМ:
x+3>0, x>-3
ax>0

(x+3)^2=ax
X^2 +6x + 9 –ax=0
X^2+(6-a)x + 9=0
D=0
(6-a)^2 -4.9=0
36-12a + a^2 -36=0
a^2-12a=0
a(a-12)=0
a1=0 a2=12

Вижда се, че при а=0 няма решение, проверяваме за а=12. От проверката намираме, че x=3, което принадлежи на Д.
Окончателно а=12 e решение.

Така мисля, че е задачата.

[r2d2]

Не е така:
Уравнението се свежда до системата:
[tex]x>-3\;ax>0[/tex]
[tex](x+3)^2=ax[/tex]

Ясно е, че при [tex]x \ne -3 [/tex] решенията на (x+3)^2=ax ще удоволетворяват ах>0.

Търсените а са тези, за които уравнението [tex]x^2+(6-a)x+9 =0 [/tex]има само едно решение по-малко от -3.
Можеш ли да решиш тази зада4а?

[tsuki114]

Защо по-малко, по-голямо от -3 е

[r2d2]

Aбсолютно прав си!

[tsuki114]

И се получава тва дет аз получих?

[r2d2]

Не, виж например какво става за а=-4.

[tsuki114]

За а=-4 става -1 не може, ти май се опитваш да ме убедиш, че не съм я решил правилно а задачата е вярна?

[r2d2]

При а=-4, получаваме x^2+10x+9=0, което има за корени x=-9; x=-1. T.e. ни върши работа!
Прочети внимателно какво съм написал по-горе, със съответната корекция (от теб)!

[tsuki114]

Абе човек имаме логаритмично уравнение с параметър. Под логаритъм винаги трябва да стои положително число, и имаме допустими стоиности за х, които написахме х >-3!!!
Освесн това в задачата се иска да имаме единствен корен!

За а=-4 единия корен става само, но нз!?

[tsuki114]

Добре тогава напиши цялото решение на задача според теб.

[r2d2]

[tsuki114]

Мерси, а задачата, за която направих темата? Аз по този начин я реиавам, но... нещо бъркам и не става.

[martosss]

твоята задача е доста... забавна...

[tex]lg f(x)=lg g(x)[/tex] става системка

[tex]\begin{tabular}{|1}f(x)=g(x)\\f(x)\:ili\: g(x)>0\end{tabular}[/tex]
И сега търсиш за кои стойности на а тая система има 1-ствено решение, от второто трябва да си избереш една от функциите и тя да е положителна(само една, понеже двете са равни и едната като е положителна, то и другата непременно става положитлена)в случая за второто неравенство ще вземеш x²-2ax+a>0, защото е по-просто

Сега става страшното -имаш случаи:

1. Д= 0 -> проверка дали е решение, тоест дали неравенството от системата е изпълнено.

2. Д<0 => Н.Р.К.

3. Д>0 => работиш с разположение на корените, там са едни дъъълги системи... не ми се говори просто... трябва да си начертаеш графиката на ф-ята и да видиш спрямо корените кога имаш точно 1 решение... доста е дълго, учи се в 10-ти клас

Общо взето тоя логаритъм е само за да плаши гаргите - веднъж щом го разкриеш си е просто система у-я(и неравенство има ) с параметър

Честно казано нямам намерение да я решавам на Latex, доста е дълго Може ако искаш да ти го напиша на лист и да ти го снимам, ако успея да го напиша изобщо...

[tsuki114]

ок.

[martosss]

Ама все пак първо се пробвай по тоя начин, който написах, да я разпишеш, и ми кажи докъде стигаш, поне първия и втория случай разгледай, аз за сега тях реших и третия го оставих... ако ги решиш може и третия да поразгледам :]

[r2d2]

Поредното плямпане и поредият вот!

[tsuki114]

тая задача колко съм я разписвал и ми писна вече, затова я и написах, но явно на никой не му се разправя

[martosss]

ок, утре ще се опитам да напиша пълно и чисто решение, сега вече стана късно

[martosss]

Поствам моето решението, силно се надявам да е вярно и да го разбереш(не пиша много красиво, нито пък имам завидни фотографски умения ). Ако имаш въпроси относно написаното питай

[r2d2]

[tex]lg(2x^2 -4(a-2)x +8+2a)=lg(x^2-2ax+a).[/tex]

Уравнението е равносилно със системата:
[tex]f(x)=x^2-2ax+8x+8+a=0 \;(1)[/tex]
[tex]x^2-2ax+a>0[/tex]

Нека уравнението (1) има два корена, за да бъде само едно решението на лог. уравнение единият корен трябва да изпълнява неравенството, а другият не!

От написаната система намираме, че [tex]8(x+1)=-(x^2-2ax+a).[/tex]
Тогава за единия корен трябва [tex]x+1<0, [/tex]a за другия [tex]x+1>0. [/tex]Или разбираме, че -1 трябва да е между корените на (1).

Пресмятаме[tex] f(-1)=3a+1<0 \;=>a<-\frac{1}{3}.[/tex]

Другата възможност е (1) да има само един корен, за който неравенството е изпълнено! Това няма да го смятам (D=0 и проверка).

@martoss - Това, което не може д се напише на Латех, най-често не си заслужава да се пише!

[martosss]

[tsuki114]

мартосс не разбирам само как накрая каза че он минус безкрайност до -1/3 има едно решение Тогава х2 пада ли? И остава само х1

[martosss]

[tsuki114]

не, няма нужда. Ок, мерси много разбрах решението.