Формулата на Херон, но със медиани

[Nona]

Триъгълник ABC има медиани d, e и f, a m e полусборът им. Докажете, че лицето на триъгълника е .

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Доказателството ми сподели неотдавна госпожата по математика, но мисля да го напиша, защото ми се стори твърде красиво и елегантно.

[krainik]

Лошо няма като ти се е сторило елегантно и красиво, но защо не го написа?

[ганка симеонова]

Понеже имах честта до преди две години да предподавам на Relinquishmentor ( цели 5 години) , ще го напиша аз, въпреки че Кrainik със сигурност го знае.
Нека G е медицентърът на триъгълника, а [tex]CC_1[/tex] едната му медиана.
Ако при стандартните означения нанесем по продължението на [tex]CC_1[/tex] отсечката [tex]GP=GC_1[/tex] и разгледаме [tex]\Delta AGP [/tex] със страни [tex]\frac{2}{3 } m_a; \frac{2}{3 } m_b;\frac{2}{3 } m_c[/tex], неговото лице ще е 1/3 от лицето на основния триъгълник. Но [tex]\Delta AGP [/tex] е подобен на триъгълник[tex]\Delta1 [/tex] със страни медианите и [tex]k=\frac{2}{3 } =>S_{ABC}=3S_{AGP}=3\frac{4}{ 9} S_{\Delta 1}=>[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{4}{3 }\sqrt{m(m-e)(m-d)(m-f)} [/tex]