Числата a, b, c образуват аритметична прогресия:

[Spider Iovkov]

Числата [tex]a, b, c[/tex] образуват аритметична прогресия:
а) да се докаже, че числата [tex]2, a^2+4b^2+c^2, a^4+16b^4+c^4[/tex] образуват геометрична прогресия;
б) да се намерят числата, ако сумата им е [tex]15[/tex], а сумата от квадратите им е [tex]83[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

Прием за ТУ, от преди няколко години

[NoThanks]

Искаме да покажем:
[tex](a^2 + 4b^2 + c^2)^2 = 2(a^4+16b^4+c^4)[/tex]
[tex]a^4+16b^4+c^4+8a^2b^2+2a^2c^2+8b^2c^2 = 2a^4+32b^4+2c^4[/tex]
[tex]8a^2b^2+2a^2c^2+8b^2c^2 = a^4+16b^4+c^4[/tex]
[tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex]
[tex]8a^2\frac{(a+c)^2}{4} + 2a^2c^2 +8c^2\frac{(a+c)^2}{4} = a^4+16b^4+c^4[/tex]
[tex]2a^2(a^2+2ac+c^2) + 2a^2c^2 +2c^2(a^2+2ac+c^2) = a^4+16b^4+c^4[/tex]
[tex]2a^4 + 4a^3c+2a^2c^2+2a^2c^2 +2a^2c^2+4ac^4+2c^4 = a^4+(a+c)^4 + c^4[/tex]
[tex]2a^4+4a^3c+4ac^4+6a^2c^2+2c^4 = a^4+a^4+4a^3c+4ac^4+6a^2c^2+2c^4[/tex]
[tex]0=0[/tex]
=> да. За б) имаме:
[tex]a+a+d+a+2d=15[/tex]
[tex]a+(a+d)^2 + (a+2d)^2 = 83[/tex]
2 уравнения - 2 неизвестни