Едно показателно уравнение

[*UKTC*]

5^x+7^x=12^x

[Реклама]

[Infernum]

Вижда се че решението е х=1. Обаче това трябва да се докаже.
Взимаш f(x)=(5/12)^x+(7/12)^x-1
Намираш f'(x)=(5/12)^xln(5/12)+(7/12)^xln(7/12)
Вижда се че f'(x)<0 за всички х. Значи функцията f(x) е монотонно намаляваща. Границите и при х клонящо към + и - безкарйност са съответно -1 и безкрайност. Тъй като функцията е монотонна, единсвената стойност, решение на уравнението f(x)=0 e x=1.
Може да се установи монотонността на f(x) и без производна. Просто се взимат някакви хиксове, които се подчиняват на определени условия, след което се проверява дали, въз основа на тези условия е изпълнена дефиницията за монотонност.

[*UKTC*]

Благодаря ти Infernum за изчерпателния отговор

[*UKTC*]

7^x-3-4.7^-x<=0

[*UKTC*]

Извинявам се за грешката

[Tony_89]

7^x - 3 - 4*7^-x <= 0
7^x - 3 - 4/7^x <= 0
7^x > 0 =>
=> 7^x - 3 - 4/7^x <= 0 /*7^x
7^2*x - 3*7^x - 4 <= 0
Нека 7^x = u > 0
u² - 3*u - 4 <= 0
(u + 1)*(u - 4) <= 0
|u E [-1;4]
|u > 0 =>
=> u E (0;4]
7^x E (0;4]
7^x <= 4
x <= log₇4

[*UKTC*]

Mерси за бързия отговор , но не трябва ли накрая да е
7^x<=4
7^x>0

[*UKTC*]

x<=log₇4
x>log₇1 => x>0
=> x E(0;log₇4)

[Tony_89]

7^x > 0 за всяко x

[*UKTC*]

О вярно това го бях забравил