Диофантови уравнения

[Saposto_MM]

Да се решат в естествени числа уравненията:
a)[tex]x^{y}-y^{x}=x-y[/tex]
b)[tex]x^{y}=y^{x}[/tex]
c)[tex]x^{y}-y^{x}=1[/tex](без решения от рода "Съгласно хипотезата на Каталан...")

Да се докаже, че уравнението
[tex]x^{2}=y^{5}+7[/tex]
няма решение в естествени числа.

[Реклама]

[Pinetop Smith]

За това, дето няма решение - може и да пълни глупости да пиша, ама съм длъжен да пробвам(горе-долу такъв принцип спазвам, когато ходя на ЗМС, ЕМТ etc)

х и у очевидно са от различна четност. Ако допуснем, че [tex]y = 2k[/tex], [tex]x = 2t+1[/tex], то [tex]y^5 + 7 - x^2 = 2(16k^5 - 2t^2- 2t + 3) = 0[/tex], противоречие(нещото в скобите е нечетно) => [tex]y = 2k+1[/tex], [tex]x = 2t[/tex], оттук [tex]x^2 + 5^2 = y^5 + 2^5 = (y+2)(y^4 - 2y^3 + 4y^2 - 8y + 16)[/tex]. Остатъкът при деление на 4 на израза в скобите зависи от [tex]y^4 - 2y^3 = 4(4k^4 + 4k^3 - k - 1) + 3[/tex], т.е. той е 3. Оттук имаме прост делител на [tex]y^5 + 2^5[/tex], даващ остатък 3 при деление на 4. Нека той е p. Тогава, щом [tex]p = 4s + 3[/tex] и [tex]p|x^2 + 5^2[/tex], то [tex]p|x[/tex] и [tex]p|5[/tex], като второто е противоречие.

[dim]

Аз я реших пък така:

[tex]x^{2}=y^{5}+7[/tex]

x,y са от различна четност=>x-нечетно, y-четно или x-четно, y-нечетно. Но [tex](2k+1)^2=(2t)^2+7[/tex]<=>[tex]4(k^2+k)=32t+6[/tex]-невъзможно =>x-четно, y-нечетно.
[tex]x^{2}\equiv 0,1,2,4(mod7)[/tex], [tex]y^{5}\equiv 0,1,2,3,4,5(mod7)[/tex], [tex]x^2\equiv y^5(mod7)[/tex]=>[tex]x^2\equiv y^5\equiv 0,1,2,4(mod7)[/tex]

[tex]x^2\equiv y^5\equiv 0(mod7)[/tex]-невъзможно, получава се четно=нечетно, като заместим в у-то.

[tex]x^2\equiv y^5\equiv 2(mod7)[/tex].Понеже x-четно, [tex]4|x^2[/tex], [tex]4|y^5+7[/tex]=>[tex]y^5\equiv 1(mod4)[/tex]=>[tex]y^5+7=4t+1+7=4t+8[/tex], но [tex]x^2=7s+2[/tex]-четно, заначи s-нечетно=>[tex]7s+2=4t+8[/tex], [tex]7s=4t+6[/tex]-невъзможно(четно=нечетно).

[tex]x^2\equiv y^5\equiv 4(mod7)[/tex]-аналогично

[tex]x^2\equiv y^5\equiv 1(mod7)[/tex]. [tex]x^2=(2k)^2=7t+8[/tex], но [tex]4k^2=y^5+7=4s+8[/tex]=>[tex]7s=4s[/tex]-невъзможно (s-нечетно).

Правилно ли е?

[astateoftrance]

Ъъъ, не мога да се оправям с латекса, обаче идеята на такива задачи дето нямат решение е да се добави някакво число (в случая 25, за да получим x^2 + 25 = y^5 + 32) и се използва твърдението (или теорема беше, забравих) че ако просто число от вида 4k+3 дели дясната част, то дели x и 5, откъдето имаме противоречие. Не съм я разписвал задачата, ама така се решава (на ЗМС тая година имахме такава за 10 клас).

[dim]

a)[tex]x^{y}-y^{x}=x-y[/tex]

От неравенството на Бернули имаме: [tex](1+a)^n\ge 1+na[/tex]. Полагаме [tex]a=x-1[/tex], [tex]n=y[/tex] и получаваме [tex]x^y\ge 1+xy-y(1)[/tex]. Аналогично, чрез полагане [tex]a=y-1[/tex], [tex]n=x[/tex], получаваме: [tex]y^x\ge 1+xy-x(2)[/tex]. Изваждаме от (1), (2) и имаме [tex]x^{y}-y^{x}\ge x-y[/tex]. Равенсво се достига, когато едновременно са изпълнени равенства (1) и (2). [tex](1,1)[/tex].

[dim]

[dim]

b)[tex]x^{y}=y^{x}[/tex]

[tex]x^y\ge 1+xy-y(1)[/tex], [tex]y^x\ge 1+xy-x(2)[/tex].

За [tex]x>y[/tex], [tex]x^y-y^x\ge x-y>0[/tex], [tex]((1)-(2))[/tex]
За [tex]y>x[/tex], [tex]y^x-x^y\ge y-x>0[/tex], [tex]((2)-(1))[/tex]

Равенство единствено когато [tex]x=y>0[/tex].

[Saposto_MM]

dim, добре го прилагаш това неравенство, но някъде имаш грешка. На a) решение е и (3,2), а на b) (4,2). Това са нетривиални решения.

[dim]

Ами да. Всъщност изводът, че се достига равенство само когато са изпълнени едновремено (1) и (2) е грешен. Могат и едновременно да не са изпълнени, но а) и б) да са в сила.

[Pinetop Smith]

Как се изваждат неравенства?

[dim]

Очевидно с Бернули трудно можем да стигнем до нетривиалните решения...

б)[tex]x^y=y^x[/tex]

Полагаме [tex]y=ax[/tex]. Тогава [tex]x^{ax}=ax^x[/tex], [tex]axlnx=x(lna+lnx)[/tex], [tex](a-1)lnx=lna[/tex]. Оттук следва за [tex]a=1[/tex], че всяко [tex]x=y>0[/tex] е решение. Нека [tex]a>1[/tex]. Тогава [tex]lnx=\frac{lna}{a-1}[/tex], [tex]x=e^{\frac{lna}{a-1}}=a^{\frac{1}{a-1}}[/tex]. Но [tex]y=ax=a^{\frac{a}{a-1}}[/tex]. От тук следва, че [tex]a=2[/tex] ,[tex]y=2[/tex], защото [tex]\frac{a}{a-1}[/tex]-цяло. Значи решения са и [tex](4,2)[/tex], [tex](2,4)[/tex].