Ъглите С,А и В в тази поредност образуват геометрична

[Mastinka90]

Ъглите С,А и В в тази поредност образуват геометрична прогресия с частно 2.Нека т.О-център на окръжността,вписана в АВС,т. К-център на окръжността,допираща се до страната АС и до продълженията на страните ВС и ВА след С и А,т.L-център на окръжността,допираща се до ВС и до продълженията на АС и АВ след С и В.Докажете,че АВС подобен на ОКL

[Реклама]

[ганка симеонова]

Нека ъглите са: [tex]\gamma =x; \alpha =2x; \beta =4x=>7x=\pi =>x=\frac{\pi }{ 7} [/tex]
[tex]=>\alpha =\frac{2\pi }{ 7}; \beta =\frac{4\pi }{ 7}; \gamma =\frac{\pi }{7 } [/tex]

Заб. [tex] \pi [/tex] е радианната мярка на изправения ъгъл. . Тъй като ъглополовящите на съседни ъгли са перпендикулярни, то триъгълниците [tex]\Delta KCO; \Delta LCO [/tex] са правоъгълни с прави ъгли при върха си С.

[tex]\angle AOC=90^\circ +\frac{\beta }{ 2}=>\angle COL=90^\circ -\frac{\beta }{ 2} =>\angle OLC=\frac{\beta }{ 2}=\frac{2\pi }{ 7} [/tex]

[tex]\angle COB=90^\circ +\frac{\alpha }{2 } =>\angle COK=90^\circ -\frac{\alpha }{2 } =>\angle OKC=\frac{\alpha }{2 } =\frac{\pi }{7 } [/tex]
Тогава двата триъгълника имат по два равни ъгъла=> са подобни.